江苏卷03-2020年高考数学必刷试卷解析版（三）
数学试题I 一、 填空题（共70分）
1.设全集U＝{x|x>1}，集合A⊆U.若∁UA＝{x|x>9}，则集合A＝________． 答案：{x|1<x≤9} 解析：因为∁UA＝{x|x>9}，U＝{x|x>1}，A⊆U，所以A＝{x|1<x≤9}． 2. 已知复数z满足z(1＋i)＝3－i，其中i为虚数单位，则复数z的模|z|＝________． 答案：
解析：由题意得z＝＝＝1－2i，所以＝. 3. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50 km/h的汽车辆数为________辆． 答案：77 解析：由图可知时速超过50 km/h的频率为0.039×10＋0.028×10＋0.01×10＝0.77，而共有100辆汽车经过雷达测速区域，所以速度超过50 km/h的车辆为77辆． 4. 如图所示的流程图中，输出的S为________． 答案： 解析：S＝1＋＋＋＝. 6.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则 这2只球颜色不同的概率为________． 答案：
解析：从4只球中一次性随机摸出2只球，共有6种情况，颜色相同的有1种，颜色不同的有5种，所以一次随机摸出2只球颜色相同的概率为. 7已知正四棱锥的底面边长为4 cm，高为 cm，则该正四棱锥的侧面积是________ cm2. 答案：24 解析：由题意得正四棱锥的侧面上的高为3，所以该正四棱锥的侧面积为4××4×3＝24. 8.设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，则f(x)在区间上的最大值为________. 答案：1 解析：f(x)＝－(1－cos 2ωx)－sin 2ωx＝cos 2ωx－sin 2ωx＝cos.由题意得＝，所以ω＝1，所以f(x)＝cos.因为x∈，所以∈，所以f(x)的最大值为1. 9若b>a>1且3loga b＋6logb a＝11，则a3＋的最小值为________． 答案：2＋1 解析：由3loga b＋6logb a＝11，可得loga b＝3或loga b＝.因为b>a>1，所以loga b＝3，即b＝a3，所以a3＋＝b＋＝b－1＋＋1.因为b>1，所以b－1＋≥2，即a3＋≥2＋1，当且仅当b＝1＋时取等号． 10已知P是圆x2＋y2＝1上一动点，AB是圆(x－5)2＋(y－12)2＝4的一条动弦(A，B是直径的两个端点)，则·的取值范围是________． 答案：[140，192] 解析：设圆x2＋y2＝1的圆心为O1，圆(x－5)2＋(y－12)2＝4的圆心为O2，·＝(＋)·(＋)＝2－4，max＝＋1＝14，min＝－1＝12，所以·的最大值为192，最小值为140. 13若a>0，b>0，且函数f(x)＝aex＋(b3－8)x在x＝0处取得极值，则a＋3b的取值范围是________． 答案：(6，10] 解析：因为f′(x)＝aex＋(b3－8)，由题意得a＋(b3－8)＝0，所以a＝8－b3，所以a＋3b＝8－b3＋3b.令g(b)＝8－b3＋3b，g′(b)＝－3b2＋3＝－3(b＋1)(b－1)．因为a>0，所以8－b3>0.又b>0，所以0<b<2，所以g(b)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以g(b)∈(6，10]． 14在△ABC中，边a，b，c所对应的角分别为A，B，C.若2sin2B＋3sin2C＝2sin Asin Bsin C＋sin2A，则tan A＝________． 答案：－1 解析：由2sin2B＋3sin2C＝2sin Asin Bsin C＋sin2A及正弦定理，得2b2＋3c2＝2bcsin A＋a2，所以b2＋c2－a2＋b2＋2c2＝2bcsin A．由余弦定理得2bccos A＋b2＋2c2＝2bcsin A，即sin A－cos A＝≥，而sin A－cos A＝sin≤，所以sin A－cos A＝sin＝.因为0<A<π，所以A＝，所以tan A＝－1. 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知(sin C－sin A)＝sin B. (1) 求的值；
(2) 若b＝，·＝，求△ABC的面积． 解：(1) 由正弦定理，(c－a)＝b⇒＝.(4分) (2) ⇒ ⇒⇒(8分) ∴ cos B＝⇒sin B＝，(12分) ∴ △ABC的面积S＝acsin B＝.(14分) 16. (本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD中，M是PA上的点，△ABD为正三角形，CB＝CD，PA⊥BD. (1) 求证：平面MBD⊥平面PAC；
(2) 若∠BCD＝120°，DM∥平面BPC，求证：点M为线段PA的中点． 证明：(1) 取BD的中点O，连结OA，OC， ∵ △ABD为正三角形，∴ OA⊥BD. ∵ CB＝CD，∴ OC⊥BD. 在平面ABCD内，过O点垂直于BD的直线有且只有一条， ∴ A，O，C三点共线，即AC⊥BD.(2分) ∵ PA⊥BD，AC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A， ∴ BD⊥平面PAC.(4分) ∵ BD⊂平面MBD， ∴ 平面MBD⊥平面PAC.(6分) (2) (证法1)延长BC，AD，交于Q点，连结PQ， ∵ DM∥平面BPC，DM⊂平面PAQ，平面BPC∩平面PAQ＝PQ， ∴ DM∥PQ.(8分) 在△CBD中， ∵ CB＝CD，∠BCD＝120°， ∴ ∠CBD＝30°， ∴ ∠ABC＝30°＋60°＝90°， ∴ △ABO为直角三角形． ∵ 在Rt△ABQ中，∠BAQ＝60°， ∴ AQ＝2AB＝2AD， ∴ 点D是AQ的中点，(12分) ∴ 点M为线段PA的中点．(14分) (证法2)取AB的中点N，连结MN和DN， 易算得∠ABC＝90°，即AB⊥BC. ∵ △ABD为正三角形， ∴ DN⊥AB. 又DN，BC，AB共面， ∴ DN∥CB. ∵ DN⊄平面BPC，CB⊂平面BPC， ∴ DN∥平面BPC.(8分) ∵ DM∥平面BPC，DN，DM⊂平面DMN， ∴ 平面DMN∥平面BPC.(12分) ∵ MN⊂平面DMN，∴ MN∥平面BPC. ∵ MN⊂平面PAB，平面PAB∩平面BPC＝PB， ∴ MN∥PB. ∵ N是AB的中点， ∴ M为线段PA的中点．(14分) 17. (本小题满分14分) 如图，一块地皮OAB，其中OA，AB是直线段，曲线段OB是抛物线的一部分，且点O是该抛物线的顶点，OA所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，OA＝2 km，AB＝ km，∠OAB＝.现要从这块地皮中划一个矩形CDEF来建造草坪，其中点C在曲线段OB上，点D，E在直线段OA上，点F在直线段AB上，设CD＝a km，矩形草坪CDEF的面积为f(a) km2. (1) 求f(a)，并写出定义域；
(2) 当a为多少时，矩形草坪CDEF的面积最大？ 解：(1) 以O点为原点，OA边所在直线为x轴，建立 如图所示的平面直角坐标系， 过点B作BG⊥OA于点G， 在Rt△ABC中，AB＝，∠OAB＝， 所以AG＝BG＝1. 因为OA＝2，所以OG＝1，则B(1，1)． 设抛物线OCB的标准方程为y2＝2px， 代入点B的坐标，得p＝， 所以抛物线OCB的方程为y2＝x.(4分) 因为CD＝a， 所以AE＝EF＝a，则DE＝2－a－a2， 所以f(a)＝a(2－a－a2)＝－a3－a2＋2a，定义域为(0，1)．(8分) (2) 由题意得f′(a)＝－3a2－2a＋2， 令f′(a)＝0，得a＝或(舍)．(10分) 当0<a<时，f′(a)>0，f(a)在上单调递增；
当<a<1时，f′(a)<0，f(a)在上单调递减． 所以当a＝时，f(a)取得极大值，也是最大值，此时矩形草坪CDEF的面积最大．(14分) 18. (本小题满分16分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B 是圆O: x2＋y2＝1与x 轴的两个交点(点B在点A右侧)，点Q(－2，0)，x轴上方的动点P 使直线PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差数列． (1) 求证：动点P的横坐标为定值；
(2) 设直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为S，T，求证：点Q，S，T三点共线． 证明：(1) 由题设知A(－1，0)，B(1，0)． 设P(x0，y0)(y0>0)，则kPQ＝，kPA＝，kPB＝.(4分) 因为直线PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差数列， 所以2kPQ＝kPA＋kPB，即＝＋， 解得x0＝－， 即动点P的横坐标为定值．(8分) (2) 由(1)知P，kPA＝2y0，kPB＝－y0， 直线PA的方程为y＝2y0(x＋1)，代入x2＋y2＝1得(x＋1)[(1＋4y)x－(1－4y)]＝0， 所以点S的横坐标xS＝，从而yS＝. 同理：xT＝，yT＝，(12分) 所以kQS＝＝，kQT＝＝， 所以kQS＝kQT， 所以点Q，S，T三点共线．(16分) 19. (本小题满分16分) 设f(x)＝ex·sin x＋ax(a为常数)，x∈[0，2π]． (1) 当a＝0时，求f(x)的单调区间；
(2) 若f(x)在区间(0，2π)的极大值、极小值各有一个，求实数a的取值范围． 解：(1) 当a＝0时， f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＝exsin.(2分) 令f′(x)>0，则0<x<，<x<2π时，f(x)单调递增；
(4分) 令f′(x)<0，则<x<时，f(x)单调递减， 所以f(x)的单调增区间为，， f (x)的单调减区间为.(6分) (2) 设g(x)＝f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋a， 则g′(x)＝2excos x. 令g′(x)>0，则cos x>0，0<x<，<x<2π. 令g′(x)<0，则cos x<0，<x<， 所以g(x)的单调增区间为，， g(x)的单调减区间为， 故g(x)在x＝处取得极大值，在x＝处取得极小值．(8分) g(0)＝a＋1，g＝a＋e，g＝a－e， g(2π)＝a＋e2π， 所以g(2π)>g>g(0)>g.(10分) 若g≥0恒成立，则f′(x)≥0，f (x)在(0，2π)上单调递增， 故f(x)在(0，2π)内无极值，所以g<0.(12分) 若g≤0，则f(x)在(0，2π)内至多有一个极值点，从而g>0，g(2π)>0， 于是在区间，内f(x)分别有极大值、极小值各一个，则在内必无极值点，从而g(0)≥0.(14分) ⇒⇒－1≤a<e， 所以a的取值范围是[－1，e]．(16分) 20. (本小题满分16分) 设{an}为各项均不相等的数列，Sn为它的前n项和，且满足λnan＋1＝Sn＋1(n∈N*，λ∈R)． (1) 若a1＝1，且a1，a2，a3成等差数列，求λ的值；
(2) 若数列{an}的各项均不为零，问当且仅当λ为何值时，a2，a3，a4，…，an，…成等差数列？试说明理由． 解：(1) 令n ＝ 1，2，得 又a1，a2，a3成等差数列，∴ 2a2＝a1＋a3＝1＋a3 ③. 由①②③得λ＝.(3分) (2) 当且仅当λ＝时，a2，a3，a4，…，an，…成等差数列．(5分) 证明如下：
λnan＋1＝Sn＋1 ①， n≥2时，λ(n－1)an＝Sn－1＋1 ②. ①－②，得λnan＋1－λnan＋λan＝an，即λn(an＋1－an)＝(1－λ)an. 由于{an}的各项均不相等， ∴ ＝ (n≥2) ③.(7分) 当n≥3时，＝ ④， ③－④，得＝－ ⑤.(10分) (i) 当λ＝时，由⑤得－＝1. 当a≥3时，＝＋1＝. ∵ an≠0， ∴ an＋1－an＝an－an－1⇒2an＝an＋1＋an－1(a≥3)， 故a2，a3，a4，…，an，…成等差数列．(12分) (ii) 再证当a2，a3，a4，…，an，…成等差数列时，λ＝. ∵ a2，a3，a4，…，an，…成等差数列， ∴ an＋1－an＝an－an－1(n≥3)． 由⑤得－＝－＝1＝，∴ λ＝， ∴ 当且仅当λ＝时，a2，a3，a4，…，an，…成等差数列．(16分) 数学Ⅱ(附加题) 21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
设矩阵A＝，若矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求矩阵A. 解：由题意得 ＝1， ＝2，(5分) 所以故A＝. (10分) B (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，设直线l过点A(，)，B(a，0)，且直线l与曲线C：ρ＝cos θ有且仅有一个公共点，求正数a的值． 解：依题意，A的直角坐标为A，(2分) 曲线C：ρ＝cos θ的普通方程为2＋y2＝.(4分) 因为直线l过点A且与曲线C有且只有一个公共点，设l：y－＝k， 所以＝，解得k＝.(7分) 令y＝0，所以a＝(另一解舍去)．(10分) C．(选修4-5：不等式选讲) 已知a，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≤2. 证明：因为(＋)2≤(2a＋1＋2b＋1)(12＋12)＝8， 所以＋≤2.(10分) 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 如图，在三棱锥ABCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，点E为BD的中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记＝λ. (1) 当λ＝时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；
(2) 当CF与平面ACD所成角的正弦值为时，求λ的值． 解：连结CE, 以E点为原点，以EB，EC，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系， 则A(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)． 因为F为线段AB上一动点，且＝λ，则＝λ＝λ(－1，0，)＝(－λ，0，λ)， 所以F(1－λ，0，λ)． (1) 当λ＝时，F，＝，＝(1，－，0)， 所以cos 〈，〉＝＝.(4分) (2) ＝(1－λ，－，λ)， 设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y，z)． 由n⊥，n⊥得化简得 令x＝，则y＝－1，z＝－1，取n＝(，－1，－1)． 设CF与平面ACD所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝，解得λ＝或λ＝2(舍)，所以λ＝.(10分) 23. 设(1＋2)2n＋1＝an＋bn(n∈N*，an∈Z，bn∈Z)．求证：
(1) a－8b能被7整除；
(2) bn不能被5整除． 23. 证明：(1) 因为 (1＋2)2n＋1＝C＋C(2)＋C(2)2＋…＋C(2)2n＋1， (1－2)2n＋1＝C－C(2)＋C(2)2＋…－C(2)2n＋1， 又(1＋2)2n＋1＝an＋2bn， 所以(1－2)2n＋1＝an－2bn， 所以(1＋2)2n＋1(1－2)2n＋1＝(an＋2bn)(an－2bn)，即a－8b＝－72n＋1， 所以a－8b能被7整除．(5分) (2) 由a－8b＝－72n＋1得8b＝a＋72n＋1. 因为72n＝49n＝(50－1)n＝C50n＋C50n－1(－1)＋…＋C50(－1)n－1＋C(－1)n除最后一项外都是5的倍数， 所以72n＋1用5除所得的余数是2或－2. 因为a是平方数，其末位数可能是0，1，4，5，6，9， 所以a＋72n＋1末位数不可能是0或5， 所以不能被5整除，即8b不能被5整除，从而b不能被5整除， 所以bn不能被5整除．(10分)以下内容为“高中数学该怎么有效学习？” 首先要做到以下两点：
1、先把教材上的知识点、理论看明白。买本好点的参考书，做些练习。如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。做练习要对答案，最好把自己的错题记下来。平时学习也是，看到有比较好的解题方法，或者自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来复习复习。
2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例，要能用自己的话解释概念（理解概念）
然后由概念开始进行独立推理活动，要能把课本的公式、定理自己推导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做的出来（依靠自己才是最可靠的力量）。
最后主动挑战问题（兴趣是最好的老师），要经常攻关一些问题。（白天攻，晚上钻，梦中还惦着它）
其次，先看笔记后做作业。有的高中学生感到。老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。
做题之后加强反思。
学生一定要明确，现在正坐着的题，一定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思。总结一下自己的收获。要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。
主动复习总结提高。
进行章节总结是非常重要的。初中时是教师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结的时间。
积累资料随时整理。
要注意积累复习资料。把课堂笔记，练习，单元测试，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。这样，复习资料才能越读越精，一目了然。
精挑慎选课外读物。
初中学生学数学，如果不注意看课外读物，一般地说，不会有什么影响。高中则不大相同。高中数学考的是学生解决新题的能力。作为一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水平有多高，必然都会存在着很大的局限性。因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。当然，也不要自立门户，另起炉灶。一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，也必将事半功倍。
配合老师主动学习。
高中学生学习主动性要强。小学生，常常是完成作业就尽情的欢乐。初中生基本也是如此，听话的孩子就能学习好。高中则不然，作业虽多，但是只知道做作业就绝对不够；
老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明，因此，高中学生必须提高自己的学习主动性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。
合理规划步步为营。
高中的学习是非常紧张的。每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。要想能迅速进步，就要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，详细的安排好自己的零星时间， 注意事项 我们在学习高中数学的时候，除了上课认真听老师讲解外，学习方法，学习习惯也很重要，只要学生认真努力，数学成绩提高是很容易的。
数学的学习过程中千万不要有心理包袱和顾虑，任何学科也是一样，是一个慢慢学习和积累的过程。但要记住的一点，这个过程我们是否能真正的学好初三数学课程（或者其他课程），除了以上的方法，我们最终的目的是：要养成一个良好的学习习惯，要培养出自己优质的学习兴趣，要掌握和形成一套自己的学习方法。