【题型综述】 不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；
②直接化为最值＋分类讨论；
③缩小范围＋证明不等式；
④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；
直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。
俗话说，形缺数时难入微。
【典例指引】 例1 己知函数. （1）若函数在处取得极值，且，求；
（2）若，且函数在上单调递増，求的取值范围. 法二（直接化为最值＋分类讨论）：令，.令， ①当时，，所以，即在上单调递减.而，与在上恒成立相矛盾. ②当时，则开口向上 (方案一）：Ⅰ.若，即时，,即，所以在上递增，所以，即. Ⅱ.若，即时，此时，不合题意. 法三（缩小范围＋证明不等式）：令，则. 另一方面，当时，则有，令，开口向上，对称轴，故在上为增函数，所以在上为增函数，则，故适合题意.学科&网 例2. (2016全国新课标Ⅱ文20)己知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围. 法二（直接化为最值）：在恒成立，则 (导函数为超越函数）；
在为增函数，则（1）当即时，则(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意. （2）当即 时，则，且，故在有唯一实根，则在为减函数，在增函数，又有，则存在,使得，故不适合题意.综上，实数的取值范围为.学科&网 法三（分离参数）：在恒成立在恒成立（端点自动成立），则设，令在为增函数，则在为增函数，又因，故实数的取值范围为 法四（缩小范围）：在恒成立，且，则存在，使得在上为增函数在上恒成立，令. 又当时，在为增函数，则(当且仅当(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意. 综上，实数的取值范围为.学科&网 点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。
2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线在点处的切线的斜率为1；
（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 当时，在上单减，上单增，而，矛盾；
综上，. 法二（分离参数）在上恒成立（端点自动成立）
设，令[来源:学科网ZXXK] 在上为减函数，则在上为减函数，又因，故实数的取值范围为 （2）若时，则，故在上单减，上单增，而，矛盾；
学科&网 综上，实数的取值范围为 点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在时得到下确界，值得留意. （2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。
（3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函数分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点为，而二次函数的零点为及，又知当时，零点，故易得，从而导出矛盾。
【扩展链接】 洛必达法则简介：
法则1 若函数和满足下列条件：（1) 及；
（2）在点的去心邻域内，与可导，且；
（3），那么. 法则2 若函数和满足下列条件：（1) 及；
（2），和在与上可导，且；
（3），那么. 法则3 若函数和满足下列条件：（1) 及；
（2）在点的去心邻域内，与可导且；
（3），那么. 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
①将上面公式中的换成洛必达法则也成立。
②洛必达法则可处理型。
③在着手求极限以前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会 出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
【同步训练】 1．已知函数. （1）若，求证：当时，；
（2）若存在，使，求实数的取值范围.[来源:学.科.网Z.X.X.K] 【思路引导】 (1)由题意对函数求导，然后构造函数，结合函数的性质即可证得题中的结论；
(2)结合题意构造函数，结合其导函数的性质可得实数a的取值范围是. 设h（x）=（x≥e），则h’（x）= u=lnx-，u’=在[e，+∞）递增。
x=e时，u=1-＞0，所以u＞0在[e,+00）恒成立， h’（x）＞0，在[e,+00）恒成立，所以h（x）[e,+∞）递增 x≥e，时h（x）min=h（e）=ee 需ea＞eea＞e学科&网 2．已知， 是的导函数． （Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围． 【思路引导】 （Ⅰ）求函数f（x）的导数g（x）,再对g(x)进行求导g’(x),即可求出的极值；
（Ⅱ）讨论以及时，对应函数f（x）的单调性，求出满足在时恒成立时a的取值范围． 【详细解析】 当时，由（）可得（）. ， 故当时， ， 于是当时， ， 不成立. 综上， 的取值范围为．学科&网 3．已知函数． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围． 【思路引导】 (Ⅰ) 求出，可得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；
（Ⅱ）讨论三种情况，分别令得增区间， 得减区间；
（Ⅲ）对于任意，都有成立等价于恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出其最大值，进而可得结果. 【详细解析】 （3）当，即时， 在上恒成立， 所以函数的增区间为，无减区间. 综上所述：
当时，函数的增区间为， ，减区间为；
当时，函数的增区间为， ，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间. （Ⅲ）因为对于任意，都有成立， 则，等价于. 令，则当时， . . 因为当时， ，所以在上单调递增. 所以. 所以. 所以. 学科&网 4．已知函数，. (Ⅰ)当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；
(Ⅱ)当时，，求实数的取值范围. 【思路引导】 (1)，设直线与曲线相切，其切点为，求出切线方程，且切线过点，可得，判断方程有三个不的根，则结论易得；
(2) 易得当时，，设，则，设，则，分、两种情况讨论函数的单调性并求出最小值，即可得出结论；
法二：
(1)同法一得，设，求导判断函数的单调性，判断函数的零点个数，即可得出结论；
(2)同法一. 【详细解析】 (Ⅱ)当时，，即当时， 当时，，学科&网 设，则， 设，则. (1)当时，，从而(当且仅当时，等号成立) 在上单调递增， 又当时，，从而当时，， 在上单调递减，又， 从而当时，，即 于是当时，， 在上单调递增，又， 从而当时，，即学科&网 于是当时，， 综合得的取值范围为. 当变化时，变化情况如下表：
极大值 极小值 恰有三个根， 故过点有三条直线与曲线相切. (Ⅱ)同解法一. 学科&网 5．已知函数（）. （1）当曲线在点处的切线的斜率大于时，求函数的单调区间；
（2）若 对恒成立，求的取值范围.（提示：）
【思路引导】 (1)考查函数的定义域，且 ，由，得.分类讨论：
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为. (2)构造新函数，令 ，， 则 ，，分类讨论：
①当时，可得. ②当时， . 综上所述，. 【详细解析】 ②当时，令，得. 当时，，单调递增；
当时，，单调递减. 所以当时，取得最大值. 故只需，即 ， 化简得 ， 令，得（）. 令 （），则 ， 令，， 所以在上单调递增，又，，所以，，所以在上单调递减，在上递增， 而， ，所以上恒有， 即当时， . 综上所述，.学科&网 6．已知函数在点处的切线方程为,且. (Ⅰ)求函数的极值；
(Ⅱ)若在上恒成立，求正整数的最大值. 【思路引导】 (Ⅰ)由函数的解析式可得，结合导函数与极值的关系可得，无极大值. (Ⅱ)由题意结合恒成立的条件可得正整数的最大值是5. 【详细解析】 .∴在区间上递增，在区间上递减， 又∵ ∴当时，恒有；
当时，恒有；
∴使命题成立的正整数的最大值为.学科&网 7．已知函数， ，其中， . （1）若的一个极值点为，求的单调区间与极小值；
（2）当时， ， ， ，且在上有极值，求的取值范围. 【思路引导】 （1）求导,由题意,可得,下来按照求函数的单调区间与极值的一般步骤求解即可; （2）当时， ，求导,酒红色的单调性可得,进而得到. 又， ，分类讨论,可得或时， 在上无极值. 若，通过讨论的单调性，可得 ，或 ，可得的取值范围. 【详细解析】 的单调递增区间为，单调递减区间为， . 的极小值为. 8．已知函数. (1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设， ， 证明：
. 【思路引导】 (1) 求导,易得结果为; (2) 原不等式等价于,令,,令,分, ,三种情况讨论函数的单调性,则可得结论; (3) 利用定积分求出m的值,由(2)知,当时, ,则, 令, ,求导并判断函数的单调性,求出, 即在上恒成立, 令,则结论易得. 【详细解析】 且时， ，∴递增，∴ (不符合题意) 综上：
. 9．已知函数， 为自然对数的底数). (1)讨论函数的单调性；
(2)当时， 恒成立，求实数的取值范围. 【思路引导】 (1) ，分、两种情况讨论的符号，则可得结论；
(2) 当时，原不等式可化为，令，则，令，则，进而判断函数的单调性，并且求出最小值，则可得结论. 【详细解析】 (1) ①若， ， 在上单调递增；
②若，当时， ， 单调递减；
当时， ， 单调递增 10．设函数. （1）当时,求函数在点处的切线方程；
（2）对任意的函数恒成立，求实数的取值范围. 【思路引导】 （1）把代入函数解析式，求导后得到函数在点处的切线的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案；
（2）由，得，求出函数的导函数，导函数在处，的导数为零，然后由导函数的导函数在上大于零求得的范围，就是满足函数恒成立的实数的取值范围. 【详细解析】 （1）当时, 由，则 函数在点处的切线方程 为 即 [来源:学科网] 11．设函数，其中， 是自然对数的底数. （Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若，证明：
. 【思路引导】 （I）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得的最小值，由此得到的取值范围；
（II）将原不等式，转化为，令，求出的导数，对分成两类，讨论函数的最小值，由此证得，由此证得. 【详细解析】 （Ⅱ）
. 令（），以下证明当时， 的最小值大于0. 求导得 . ①当时， ， ；
②当时， ，令， 则 ，又 ， 取且使，即，则 ， 12．已知函数（）与函数有公共切线． （Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若不等式对于的一切值恒成立，求的取值范围． 【思路引导】 （1）函数与有公共切线， 函数与的图象相切或无交点，所以找到两曲线相切时的临界值，就可求出参数的取值范围。（2）等价于在上恒成立，令，x>0,继续求导，令，得。可知的最小值为>0,把上式看成解关于a的不等式，利用函数导数解决。
【详细解析】[来源:Z#xx#k.Com] （Ⅰ），． ∵函数与有公共切线，∴函数与的图象相切或无交点． 当两函数图象相切时，设切点的横坐标为（），则， （Ⅱ）等价于在上恒成立， 令， 因为，令，得， 极小值 所以的最小值为， 令，因为， 令，得，且[来源:学科网ZXXK] 极大值 所以当时，的最小值， 当时，的最小值为 ， 所以． 综上得的取值范围为． 13．已知函数，. （1）求证：（）；
（2）设，若时，，求实数的取值范围. 【思路引导】 （1）即证恒成立，令求导可证；
（2）
，．又 ，因为时，恒成立，所以，所以只需考虑。又，所以下证符合。
【详细解析】 ②当时，