2014—— 2015学年海淀初三数学第一学期期中练习 2014.11
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个..是符合题意的.
1 .下列图形是中心对称图形的是（ ）
A
B
C D
2.将抛物线y
x2向上平移
1个单位，
得到的抛物线的解析式为（
A. y x2 1
b. y
x2 1
2
C. y x 1
)
2
D. y x 1
4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同, 看不到球的情况下，随机从袋子中摸出
A.这个球一定是黑球
C. “摸出黑球”的可能性大
3?袋子中装有
1个球.下面说法正确的是（
B.这个球一定是白球
D. “摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大
即除颜色外无其他差别.在
）
4.用配方法解方程x2 2x 3 0时,
配方后得到的方程为（
2
A. (x 1) =4
B.(x 1)2
2
c.(x 1) =4
D.(x 1)2 =
5.如图,
e O为正五边形
ABCDE的外接圆，e O的半径为
则Ab的长为（
A.—
5
2
B. 一
5
3
C.-
5
D.4
D
C等于（
6.如图,
A. 29
AB是e O的直径,
B.31
CD是eO的弦,
C.59
ABD 59，则
D. 62
7.已知二次函数
y x2 4x
m （ m为常数）
的图象与轴的一个交点为
方程x2 4x m
0的两个实数根是（
A. x1 1, x2
B. x1 1,x2 2
D
C
(1,0)
，则关于的一元二次
15
15?已知二次函数的图象经过点 (0,1)，且顶点坐标为(2,5)，求此二次函数的解析式.
D.为 1,x2 3C. x1
D.为 1,x2 3
8 ?如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与 A, B重合）， 过C作AB的垂线交半圆于点 D，以点D , C, 0为顶点作矩形 DCOE . 若AB=10 ,设AC=x,矩形DCOE的面积为y,则下列图象中能表示 y 与x的函数关系的图象大致是（ ）
ABN（X2,y2
A
B
N（X2,y2）两点，若
4 x, 2, 0 X2 2，则 y1
y2.（用“”，“=”或“ >”号连接）
TOC \o "1-5" \h \z A B C D
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9.如图，PA , PB分别与e 0相切于点，，连接AB. APB 60 ,
AB 5，则PA的长是 .
10 ?若关于的一元二次方程 x2 4x k 0有两个相等的实数根, 则的值为 .
2
11 .在平面直角坐标系xOy中，函数y x的图象经过点M（X1,yJ ,
EBE
E
B
E
.如图，正方形 ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB .
/ CAE=15°且AE=AC，连接GE .将线段AE绕点A逆时针旋转得到
线段AF，使DF=GE，则/ CAF的度数为 .
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
2
.解方程：x 3x 1 0.
如图，/ DAB = / EAC, AB=AD , AC=AE . 求证：BC=DE.
16.如图，四边形 ABCD内接于O O,/ ABC=130 °求/ 0AC的度数.
2 2 2
17.若x 1是关于x的一元二次方程 x 4mx 2m 0的根，求代数式 2 m 1 +3的值.
18.列方程解应用题：
某工厂废气年排放量为 450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减
少到288万立方米.如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率.
四、解答题(本题共 20分，每小题5 分)
19.下图是某市某月
19.下图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图， 空气质量指数不大于 100表示空气质量优
良，空气质量指数大于 200表示空气重度污染.
(2)小丁随机选择该月 1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概 率.
2
20.已知关于x的方程ax (a 3)x 3 0 (a 0).
求证：方程总有两个实数根；
若方程有两个不相等的负整数根，求整数 a的值.
CD丄AB于点E,B如图，AB是O O的直径，CD是弦, / D=
CD丄AB于点E,
B
求证：CG是O O的切线；
(2 )若CD=6，求GF的长.
阅读下面材料:
Xi
Xi, X2 , X3，称为数列
Xi,X2, X3 .计算Xi , 一 ?厂 一—■,将这三个数的最小值称为数列 Xi,X2,X3的价值.例
2 3
2 ( 1) 1 2 ( 1) 3 4
如，对于数列， 1,,因为2=2, 一— 二一,一' )―,所以数列， 1,的价
2 2 3 3
值为.
小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相
应的价值.如数列1 ,，的价值为；数列， 1，的价值为；….经过研究，小丁发现，对于“，
1，”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为.
根据以上材料，回答下列问题：
数列 4, 3，的价值为 ;
将“ 4, 3，”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值
的最小值为 ，取得价值最小值的数列为 (写出一个即可);
将，9, (a 1)这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列.
若这些数列的价值的最小值为 1,则的值为 .
五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)
23.在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y X2 (m 1)x m (m 0)与x轴交于A, B两点(点A 在点B的左侧)，与y轴交于点C.
求点A的坐标；
当Sa ABC =15时，求该抛物线的表达式；
在(2)的条件下，经过点 C的直线l:y kx b (k 0)与抛物线的另一个交点为 D.该抛 物线在直线l上方的部分与线段 CD组成一个新函数的图象?请结合图象回答：若新函数的最小 值大于 8，求的取值范围.
yj
10
9
8
—
7
■
6
一
5
一
4
-
3
一
2
-
1
■
1 1 1ft 1 II .
1 H 1 1 I j
■―
-6 -5 -4 -3 -2 -O
1 2 3 4 5 6
-1
L
-2
—
-3
—
-4
■
-5
一
-6
一
-7
-
-8
-
-9
一
-1(
卜
x
将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC,继续旋转(0° 120°)得到线段AD，连接
CD .
(1)连接BD,
如图1，若= 80°，则/ BDC的度数为 ;
在第二次旋转过程中， 请探究/ BDC的大小是否改变.若不变，求出/ BDC的度数；若改变，
请说明理由.
如图2,以AB为斜边作直角三角形 ABE，使得/ B=Z ACD，连接CE , DE . 若/ CED=90。，求的值.
如图，在平面直角坐标系 xOy中，点P(a,b)在第一象限.以P为圆心的圆经过原点，与 y轴的 另一个交点为A.点Q是线段OA上的点(不与O,A重合)，过点Q作PQ的垂线交O P于点B(m, n), 其中m》0.
备用图 ?
备用图
?
OQ=8，求线段BQ的长;
(1 )若b 5，则点A坐标是 (2 )在(1 )的条件下，若
若点P在函数y x2 (x 0)的图象上，且△ BQP是等腰三角形
直接写出实数 a的取值范围： ;
在，一6 , 、、10这三个数中，线段 PQ的长度可以为 ，并求出此时点 B的坐标.
4
海淀区九年级第一学期期中练习
2014.11
2014.11
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知：
为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细 ，阅卷时，只要考生将主要过程
正确写出即可?
TOC \o "1-5" \h \z 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分 ?
评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数 .
、选择题（本题共 32分，每小题4 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
A
D
B
D
A
TOC \o "1-5" \h \z 二、填空题（本题共 16分，每小题4分）
9. 5 ; 10. 4 ;
11. > ; 12. 30。或60°.（注：每个答案 2分）
三、解答题（本题共 30分海小题5 分）
（本小题满分5分）
解： a1,b3,c
解： a
1,b
3,c 1 ,
32
4 1 （ 1）=13>0 .
3 、
3 、13
2
3 .13
2 .
■?4
5
b2 4ac
"2a
3 .13
2 ,X2
（本小题满分5分）
证明：I/ DAB= / EAC,
/ DAB+ / BAE= / EAC+ / BAE .
/ DAE= / BAC
在厶BAC和厶DAE中，
AB AD,
BAC DAE,
AC AE,
△ BAC◎△ DAE .
BC=DE. ……
（本小题满分5分）
2
解：设二次函数的解析式为 y a x 2 5 （a 0）.
二次函数的图象经过点 （0,1）.
TOC \o "1-5" \h \z 二次函数的解析式为 y x2 4x 1. 5 分
（本小题满分5分）
解：四边形 ABCD内接于O O ,
/ ADC+ / ABC =180 ° 1 分
/ ABC=130° ,
/ ADC =180 °Z ABC=50° . 2 分
/ AOC=2 / ADC =100 ° 3 分
?/ OA=OC ,
/ OAC= / OCA . 4 分
1
?/ OAC=_（180o AOC） 40°. 5 分
（本小题满分5分）
解：依题意，得1 4m 2m2 0. 2分
2
?- 2m 4m 1 . 3 分
2 2 2 八
二 2 m 1 +3=2 m 2m 1 3 2m 4m 5 1 5 4 . 5 分
（本小题满分5分）
解：设每期减少的百分率为 x. 1分
2
由题意，得 450 1 x 288 . …2?分
1 9
解方程得 x1 — , x2 —. …分3
\o "Current Document" 5 5
— 1
经检验，x - 1不合题意，舍去；x -符合题意. 4分
5 5
答：每期减少的百分率为 20% . 5分
四、解答题（本题共 20分，每小题5分）
1—.（本小题满分5分）
解：（1） 3. 2 分
（2）小丁随机选择该月 1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等. 3分
由图可知，其中有 —天空气质量优良. …4?分
—3
所以，P （到达当天空气质量优良） 二7 …分
15 5
（本小题满分5分）
解：(1)： a 0,
原方程为一元二次方程.
2
a 3 4 a ( 3) 1 分
a 3 .
2
a 3 > 0.
此方程总有两个实数根. ?…
(2)解原方程，得 x1 1 , x2 -.
a
此方程有两个负整数根，且为整数，
a 1 或 3.
Xi X2 ,
a 3.
a 1 .
(本小题满分5分)
证明：连接OC .
?/ OC=OD，/ D=30° ,
/ OCD=Z D= 30 °
/ G=30° ,
/ DCG=180°/ D / G=120° .
/ GCO = Z DCG- / OCD=90°.
OC 丄 CG.
又 OC是O O的半径.
CG是O O的切线.
解：T AB是O O的直径，CD丄AB,
1
…CE CD 3.
2
"2 分…3 分 \o "Current Document" 4 分在 Rt△ OCE
"2 分
…3 分
\o "Current Document" 4 分
OE 1OC , OC2 OE2 CE2 .
设 OE x ,贝U OC 2x.
2 2 2
2x x 3
解得x . 3 (舍负值).
OC 2 3 . 4 分
OF 2 3 .
在厶 OCG 中，/ OCG=90° , / G=30°,
OG 2OC 4 3 .
?当点
?当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为 9，不符合题意.
?当点
?当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为 9，不符合题意.
GF GO OF 2 3 .
22.
答:
（本小题满分5分）
（1）.
（2）,
五、
23.
解:
3,2, 4或 2, 3, 4 .
（3） 11或.（每个答案各
解答题（本题共 22分，第
（本小题满分7分）
1）T抛物线y x2
令
y 0,即
解得
X2
（写出一个即可）
1分)
23题7分，第24题7分，第25题8 分）
(m
(m
点A在点
(3)
1）x m （m 0）与x轴交于A、B两点,
1)x m 0.
B左侧，且
又
?点A的坐标为（1,0）.
（2）由（1）可知点B的坐标为
抛物线与y轴交于点C, 点C的坐标为
(0, m).
(m,0).
t m 0,
? AB m 1 ,
T Sa ABC 15 ,
l(m 1)m
2
m
OC m.
15.
-m
? m
?抛物线的表达式为
y x2 4x 5.
由（2）可知点C的坐标为（0, 5）.
直线
I: y kx b (k 0)经过点 C,
5.
?直线
l的解析式为y kx 5 (k 0).
2 2
y x 4x 5 (x 2) 9,
8
8 .
8
8 .
当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于
TOC \o "1-5" \h \z 令 y 8，即 x2 4x 5 8 .
解得Xi 1 （不合题意，舍去）， X2 3.
抛物线经过点（3, 8）.
当直线y kx 5（k 0）经过点（3, 8）时，可求得k 1 . 6分
由图象可知，当 1 k 0时新函数的最小值大于 8. 7 分
24.（本小题满分7分）
解：（1）① 30°
②不改变，/ BDC的度数为30o .
方法一：
由题意知，AB=AC=AD .
TOC \o "1-5" \h \z 点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上. 2 分
/ BDC= / BAC= 30o . 3 分 方法二：
由题意知，AB=AC=AD .
?/ AC =AD，/ CAD =,
/ ADC /C” 9。°
?/ AB=AD，/ BAD =60°
120°
° 1
-60 -
2
2
180° 60°
/ ADB / B -
2
1)(60°
1
)(60° ) 30°. 3 分
BDC / ADC / ADB (90° -
2
(2)过点A作AMCD于点M，连接EM .
? AMC 90°.
在厶AEB与厶AMC中，
AEB AMC,
B ACD,
AB AC,
△ AEB 也厶 AMC
AE AM , BAE CAM .
EAM
EAC CAM
EAC BAE BAC 60°.
△ AEM是等边三角形.
二 EM AM AE ?
AC AD , AM CD ,
? CM DM ?
又 Q DEC 90°,
EM CM DM ?
AM CM DM ?
点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上.
CAD 90°
25.
解:
(本小题满分8分)
(1)( 0, 10)
(2)连接BP、OP，作PH丄OA于点H.
b 5, PH 丄 OA,
1
…OH AH OA 5 ?
2
1 分
在 Rt△ QHP 中，
PQ2
QH2
PH2
9
PH 2 ?
在 Rt △ PHO 中，
po2
OH 2
PH 2
25
2
PH
2
BP ?
在 Rt △ BQP 中，
BQ2
BP2
PQ2
(25
2
PH )
2
(9 PH ) 16
?/ OQ=8,
? QH OQ OH 3 ?
? BQ 4 ?
(3 ［① a>1 ?
解： △ BQP是等腰直角三角形， PQ .10 ,
?半径 BP 2.5 ?
2
又P(a,a ),
? OP
4
a a
(2、.5)2 ?
即a4
a2 20 0
?解得a 2?
?/ a
0,
? a
2 ?
6
分
?- P(2,4).
综上，当PQ ,10时，点坐标为(,6,6 , 6)或G.6,2 .6).