天津市红桥区2021届新高考数学教学质量调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}
|216x B x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．∅ B ．R C ．(],4-∞ D ．(),4-∞
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简{}{}|216|4x B x x x =<=<，再根据{}|,A x x a a R =≤∈，且A B 求解.
【详解】
因为{}{}|216|4x B x x x =<=<，
又因为{}|,A x x a a R =≤∈，且A B ，
所以4a <.
故选：D
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（
） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围.
【详解】
{}12M x x =<≤Q ，{}N x x a =<且M N M ⋂=，M N ∴⊆，2a ∴>.
因此，实数a 的取值范围是()2,+∞.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.
3．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ）
A ．1
B ．1或12
C
D ．2
± 【答案】C
【解析】
【分析】 由2474S S =可得()()123434a a a a +=+，故可求q 的值.
【详解】
因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+，
故234q =，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以q =，故选C. 【点睛】
一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：
（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；
（2）公比1q ≠时，则有n n S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；
（3）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .
4．设复数z 满足
i (i i 2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22-- D ．13i 22
-+ 【答案】B
【解析】
【分析】 易得2i 1i
z +=-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】
由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++=
===+-. 故选：B.
【点睛】
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 5．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ）
A ．5
B ．11
C ．20
D ．25
【答案】D
【解析】
【分析】
由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n 项和，从而得到最值.
【详解】
等差数列{}n a 的公差为-2，可知数列单调递减，则2a ，3a ，4a 中2a 最大，4a 最小，
又2a ，3a ，4a 为三角形的三边长，且最大内角为120︒，
由余弦定理得22223434a a a a a =++，设首项为1a ，
即()()()()()222
111112a 4a 6a 4a 60a -=-+-+--=得()()11490a a --=， 所以14a =或19a =，又41a 60a ，=->即1a 6>,1
4a =舍去，19a =故，d=-2 前n 项和()
()()2
19n 25252n n n S n -=+⨯-=--+. 故n S 的最大值为525S =.
故选：D
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查求前n 项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.
6．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，L ，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）
A ．38m =，12n =
B ．26m =，12n =
C ．12m =，12n =
D ．24m =，10n =
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】 试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故26m =，12n =． 考点：程序框图、茎叶图．
7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，
角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积222221()42a b c S ab ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）
A 2
B ．2
C 6
D ．23【答案】A
【解析】
【分析】
根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，
整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3
A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=
，代入公式=S 求解. 【详解】 由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，
即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=，
因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-
， 由余弦定理22222cos 23
a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆
的面积公式得
S ===故选：A
【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩
，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，
则实数a 的取值范围是（ ）
A ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】A
【解析】
【分析】
根据[x]的定义先作出函数f （x ）的图象，利用函数与方程的关系转化为f （x ）与g （x ）=ax 有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．
【详解】
当01x ≤＜时，[]0x =，
当12x ≤＜时，[]1x =，
当23x ≤＜时，[]2x =，
当34x ≤＜时，[]3x =，
若()0f x ax -=有且仅有3个零点，
则等价为()=f x ax 有且仅有3个根，
即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，
作出函数()f x 和()g x 的图象如图，
当a=1时，()g x x =与()f x 有无数多个交点，
当直线()g x 经过点21A （，）
时，即()221g a ==，12a =时，()f x 与()g x 有两个交点， 当直线()g x 经过点()32B ，时，即()332g a ==23
a =，时，()f x 与()g x 有三个交点， 要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，则直线()g x 处在过12y x =和23
y x =之间， 即1223a ≤＜， 故选：A ．
【点睛】
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 9．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A ．乙的数据分析素养优于甲
B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C ．甲的六大素养整体水平优于乙
D ．甲的六大素养中数据分析最差
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.
【详解】
根据雷达图得到如下数据：
数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析 甲
4 5 4 5 4 5 乙 3 4 3 3 5 4 由数据可知选C.
【点睛】
本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.
10．给出下列三个命题：
①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；
②在ABC V 中，“30B ︒>”是“3cos B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移
6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】C
【解析】
【分析】
结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.
【详解】
对于命题①,因为()2
20002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;
对于命题②,充分性:ABC V 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可
知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即1cos 2
B -<<,即可得到cos 2B <,即充分性成立;必要性:AB
C V
中,0180B ︒︒<<,若cos B <结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;
对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移
6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题．
故假命题有①③.
故选:C
【点睛】
本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.
11．已知1
545
5,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．c b a >> 【答案】A
【解析】
【分析】 根据指数函数的单调性，可得1551a =>，再利用对数函数的单调性，将,b c 与11,2
对比，即可求出结论. 【详解】
由题知105441551,1log log 22
a b =>=>=>=，
51log 2log 2c =<=
，则a b c >>. 故选:A.
【点睛】
本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..
12．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log a
b 的大小关系为（ ） A ．1log log b a b a
a b a b >>> B ．1log log a b b a b a b a >>> C ．1log log b a b a a a b b >>> D ．1log log a b b a
a b a b >>> 【答案】D
【解析】
因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>，
因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以
11a
>,1log 0a b <. 综上
1log log a b b a a b a b >>>；故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合{|||4,},{1,}=<∈=A x x x Z B m ，若A B A ⋃=，且3m A -∈，则实数m 所有的可能取值构成的集合是________.
【答案】{0,2,3}.
【解析】
【分析】
化简集合A ，由B A ⊆，以及3m A -∈，即可求出结论.
【详解】
集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，若A B A ⋃=，
则m 的可能取值为3,2,1---，0，2，3，
又因为3m A -∈，
所以实数m 所有的可能取值构成的集合是{0,2,3}.
故答案为:{0,2,3}.
【点睛】
本题考查集合与元素的关系，理解题意是解题的关键，属于基础题.
14．已知向量()cos5,sin5a =︒︒r ，()cos65,sin 65b =︒︒r ，则2a b +=r r ______.
【解析】
【分析】 求出,,a b a b ⋅r r r r ，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算．
【详解】
由题意得222cos 5sin 51a =︒+︒=r ，1a =r .222
cos 65sin 651b =︒+︒=r ，1b =r . 1cos5cos65sin 5sin 65cos602a b ∴⋅=︒︒+︒︒=︒=r r ，()22124444172
a b a a b b ∴+=+⋅+=+⨯+=r r r r r r ， 27a b ∴+=r r . 故答案为：7．
【点睛】
本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算．
15．如图，直线l 是曲线()y f x =在3x =处的切线，则(3)f "=________.
【答案】
12
. 【解析】
【分析】 求出切线l 的斜率，即可求出结论.
【详解】
由图可知直线l 过点3(3,3),0,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， 可求出直线l 的斜率3
312302
-
==-k ， 由导数的几何意义可知，1(3)2
f "=. 故答案为:12. 【点睛】
本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.
16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且4AP AC ==，过A 点分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连接EF ，则三棱锥P AEF -的体积的最大值为__________．