海淀区高一年级第一学期期末练习
数学 2018.1
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知集合{}1,3,5A ={}
,(1)(3=0B x x x =--）
，则A B = A. Φ B. {}1 C. {}3 D. {}1,3 （2）2sin()3
π
-
=
A. 12- C. D. 12
（3）若幂函数()y f x =的图像经过点(2,4)-，则在定义域内 A.为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值
（4）下列函数为奇函数的是
A. 2x y =
B. sin ,[0,2]y x x π=∈
C. 3y x =
D. lg y x =
（5）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中0
30A ∠=，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是
A. CD =
B. 0CA CE ?=
C. AB 与DE
D. CA CB ?= CE CD ?
（6）函数()f x 的图像如图所示，为了得到2sin y x =函数的图像，可以把函数()f x 的图像
A.每个点的横坐标缩短到原来的
12（纵坐标不变），再向左平移3
π个单位 B.每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6
π
个单位 C. 先向左平移
6π
个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， D.先向左平移3π个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
（纵坐标不变）
（7）已知21
()log ()2
x
f x x =-，若实数,,a b c 满足0a b c ，且()()()
0f a f b f c ，实数0x 满足0()0f x =，那么下列不等式中，一定成立的是
A. 0x a
B. 0x a
C. 0x c
D. 0x c
（8）如图，以AB 为直径在正方形内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于
PA PB PC PD +++
的说法正确的是
A.无最大值，但有最小值
B.既有最大值，又有最小值
C.有最大值，但无最小值
D.既无最大值，又无最小值
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上） （9）已知向量a (1,2)=，写出一个与a 共线的非零向量的坐标 .
（10）已知角θ的终边经过点(3,4)-，则cos θ= .
（11）已知向量a ，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则a ?b = .
（12）函数2,(),0x x t
f x x x t ?≥=??
(0)t 是区间(0,)+∞上的增函数，则t 的取值范围是 .
（13）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.
（参考数据：lg 20.3010,lg30.4771≈≈）
（14）函数()sin f x x ω= 在区间(0,
)6
π
上是增函数，则下列结论正确的是
（将所有符合题意的序号填在横线上） ①函数()sin f x x ω=在区间(,0)6
π
-
上是增函数；
②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③()4
f π≥(
)12
f π
.
三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题10分） 已知向量a (sin ,1)x =， b (1,)k =，()f x =a ?b .
（Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若1
()3
f k α=
+且(0,)απ∈，求tan α.
（16）（本小题12分）
已知二次函数2()f x x bx c =++满足(1)f =(3)3f =-. （Ⅰ）求,b c 的值；
（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()g x =()f x ， （ⅰ1）直接写出
()g x 的单调递减区间: ；
（2ⅱ）若()g a a ，求a 的取值范围.
（17）（本小题12分）
某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ω?=+(0,0,)2
A π
ω? 在某一个周期内的图像时，列表并填
入了部分数据，如下表：
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式为()f x = （直接写出结果即可）； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）求函数()f x 在区间[,0]2
π
-上的最大值和最小值.
（18）（本小题13分）
定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x R ∈，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.
（Ⅰ）下列函数，①2x
y =，②2l g y o x =，③[]y x =，（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；
（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为 T ，求证：函数()()G x g x x =-为线周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ?=+为线周期函数，求k 的值.
海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案
2018.1
数学
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
9.答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()24,等.
10.
3
5
11.312.1t ≥13.202114.①②③ 注：第14题选对一个给1分，选对两个给2分，选对三个给4分.
三、解答题: 本大题共4小题，共44分.
15. 解：（Ⅰ）
∵向量=(sin ,1)x a ，=(1,)k b ，()f x =?a b ， ∴
()f x =?a b =sin +x k .--------------------------2分
关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解.--------------------------3分
∵[]sin 11x ∈
-,，
∴当[]
111k ,-∈-时，方程有解.--------------------------4分 则实数k 的取值范围为[]
02,.--------------------------5分 （Ⅱ）因为1()3f k α=
+，所以1sin ++3
k =k α，即1
sin 3=α.--------------------------6分
当π(0]2
,α∈时，cos 3α==，sin tan cos 4
=ααα=分
当π(,π)2α∈时，cos α==，tan =α.-------------------------10分
16.解：（Ⅰ）4b =-；--------------------------2分
0c =.--------------------------4分
（Ⅱ）（ⅰ）[]
22,-. --------------------------6分 （ⅱ）由（Ⅰ）知
2()4f x x x =-，则当0x ≥时，2()4g x x x =-；
当0x <时，0x ->，则22()()4()4g x x x x x -=---=+
因为()g x 是奇函数，所以2()()4g x g x x x =--=--. -------------------------8分 若()g a a >，则
2
0,
4;a a a a >??->?或20,4.
a a a a ≤??-->?--------------------------10分 解得5a >或50a -<<.--------------------------12分 综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<.
17. 解:（Ⅰ）
分
解析式为：π
()2sin(2)6
f x x =+
--------------------------6分 （Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ??
-++?
???
，k Z ∈.---------------------------8分 （Ⅲ）因为π
02
x -
≤≤，所以5πππ2666x -≤+≤. 得：π1
1sin(2)62x -≤+≤.
所以,当ππ
262
x +=-即π3x =-时，()f x 在区间[,0]2π-上的最小值为2-.-----------10分
当ππ
266
x +
=即0x =时，()f x 在区间[,0]2π-上的最大值为1.--------------------12分
18.解：
（Ⅰ）③；--------------------------2分
（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，
∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T +=+恒成立.
∵()()G x g x x =-,
∴(+)()()G x T g x T x T =+-+()()g x T x T =+-+()g x x =-()G x =. ∴()()G x g x x =-为周期函数.--------------------------6分
（Ⅲ）∵()sin x x kx ?=+为线周期函数，
∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，sin()()sin x T k x T x kx T +++=++. ∴sin()sin x T kT x T ++=+．
令0x =，得sin T kT T +=；---------------------① 令πx =，得sin T kT T -+=；---------------② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠，
∴1k =．--------------------------8分 检验：
当1k =时，()sin x x x ?=+．存在非零常数2π，对任意x ∈R ，
(2π)sin(2π)2πsin 2π()2πx x x x x x ??+=+++=++=+，
∴()sin x x x ?=+为线周期函数．
综上，1k =. --------------------------10分