江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷
（江西师大附中使用）高三理科数学分析
一、整体解读
试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础
试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度
选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察
在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析
1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则A BA C →→
⋅的最小值为（ ） A ．14
- B ．12
- C ．34
- D ．1-
【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。解法较多，属于较难题，得分率较低。 【易错点】1．不能正确用OA ，OB ，OC 表示其它向量。 2．找不出OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。 【解题思路】1．把向量用OA ，OB ，OC 表示出来。
2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O ，由AB AC →→
=得，22()()OB OA OC OA -=- ，因为
1
OA OB OC === ，所以有，OB OA OC OA ⋅=⋅ 则()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅- 2OB OC OB OA OA OC OA =⋅-⋅-⋅+ 21OB OC OB OA =⋅-⋅+ 设OB 与OA 的夹角为α，则OB 与OC 的夹角为2α
所以，cos22cos 1AB AC αα⋅=-+ 2112(cos )22α=-- 即，AB AC ⋅ 的最小值为12-，故选B 。 【举一反三】
【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知
//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ
== 则AE AF ⋅ 的最小值为. 【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅ ，体
现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】
2918 【解析】因为1,9DF DC λ= 12DC AB = ，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-== ，
AE AB BE AB BC λ=+=+ ，
19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+ ， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯
︒2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅ 的最小值为2918
. 2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的焦点()1,0F ，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89
FA FB →→⋅=，求BDK ∆内切圆M 的方程. 【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。
【易错点】1．设直线l 的方程为(1)y m x =+，致使解法不严密。
2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。
【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。
2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。
3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。
【解析】（Ⅰ）由题可知()1,0K -，抛物线的方程为24y x =
则可设直线l 的方程为1x my =-，()()()112211,,,,,A x y B x y D x y -，
故214x my y x =-⎧⎨=⎩整理得2440y my -+=，故121244
y y m y y +=⎧⎨=⎩ 则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭
令0y =，得1214
y y x ==，所以()1,0F 在直线BD 上. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知121244
y y m y y +=⎧⎨=⎩，所以()()212121142x x my my m +=-+-=-， ()()1211111x x my my =--= 又()111,FA x y →=-，()221,FB x y →=-
故()()()2
1212121211584FA FB x x y y x x x x m →→⋅=--+=-++=-， 则28484,93m m -=∴=±，故直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=
21y y -==
故直线BD 的方程330x -=或330x -=，又KF 为BKD ∠的平分线，
故可设圆心()(),011M t t -<<，(),0M t 到直线l 及BD 的距离分别为3131,54t t +--------------10分 由31
31
54t t +-=得19t =或9t =（舍去）.故圆M 的半径为31253
t r +== 所以圆M 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭ 【举一反三】
【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线
y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝54
|PQ|. （1）求C 的方程；
（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．
【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同.
【答案】（1）y 2＝4x.
（2）x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.
【解析】（1）设Q(x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8
p ， 所以|PQ|＝8p ，|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8p
. 由题设得p 2＋8p ＝54×8p
，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2， 所以C 的方程为y 2＝4x.
（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)．
代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.
故线段的AB 的中点为D(2m 2＋1，2m)，
|AB|＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．
又直线l ′的斜率为－m ， 所以l ′的方程为x ＝－1m
y ＋2m 2＋3. 将上式代入y 2＝4x ，
并整理得y 2＋4m
y －4(2m 2＋3)＝0. 设M(x 3，y 3)，N(x 4，y 4)，
则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)． 故线段MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m
2＋2m 2＋3，－2m ， |MN|＝1＋1
m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，
故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12
|MN|， 从而14|AB|2＋|DE|2＝14
|MN|2，即 4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2m 2＋22＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4
， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，
故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.
三、考卷比较
本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面：
1. 对学生的考查要求上完全一致。
即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则．
2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。
3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。
四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）