星火教育测试卷 数学试卷
注意事项：
1.全卷共150分，考试时间120分钟.
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座号等个人信息填（涂）写在答题卡的相应位置.
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置.
一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是 A. 2
210x x
+
= B. 2
0ax bx c ++= C. (1)(2)1x x -+= D. 22
3250x xy y --=
2.如图，某反比例函数的图像过（-2,1），则此反比例函数表达式为 A. 2y x =
B. 2y x =-
C. 12y x =
D. 12y x
=- 3.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A=25°，则
∠D 等于
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
4.如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC B ""则tan B "的值为 A.
12 B. 13 C. 14 D. 24
5.抛物线2
21y x x =-+的顶点坐标是
A. （1,0）
B. （-1,0）
C. （-2,1）
D. (2,-1)
6.如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是
7.一只盒子中有红球m 个，白球8个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m 与n 的关系是 A. m=3，n=5 B. m=n=4 C. m+n=4 D. m+n=8 8.点M （-sin60°，con60°）关于x 轴对称的点的坐标是 A. （
32， 12） B. （32-，12-） C. （32-，12） D. （12-，32
-）
9.如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图像中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）2
4b ac -＞0；（2）c ＞1；(3)2a-b ＜0；(4)a+b+c ＜0.你认为其中错误的有 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个
10.用配方法解方程2
50x x --=时，原方程应变形为
A. 2
(1)6x += B. 2
(2)9x += C. 2
(1)6x -= D. 2
(2)9x -=
11.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，
全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为 A. (1)2070x x -= B. (1)2070x x += C. 2(1)2070x x += D.
(1)
20702
x x -= 12.如图，⊙O 过点B 、C ，圆心O 在等腰R t △ABC 的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6.则⊙O 的半径为
A. 6
B. 13
C.
13 D. 213
13.现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形. 其中真命题的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
14.如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ，设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是
15.如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行与坐标轴，点C 在反
比例函数221
k k y x
++=的图像上.若点A 的坐标为（-2，-2），则k 的值为
A. 1
B. -3
C. 4
D. 1或-3
二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）
16.如图，OB 是⊙O 的半径，点C 、D 在⊙O 上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度.
17.某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：3，坝外斜坡的坡度i=1:1，则两个坡角的和为 .
18.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为4m ，则圆心O 所经过的路线长是 m.（结果用π表示）
19.关于x 的方程2
()0a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，a ≠0）.则方程2
(2)0a x m b +++=的解是 .
20.如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到
第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 .
三、解答题（本题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 21. （2011甘肃兰州，21，7分）已知a 是锐角，且sin （a+15°）=32
. 计算8-4cos α-0( 3.14)π-+tan α+1
1()3
-的值.
22.（本小题满分7分）如图，有A 、B 两个转盘，其中转盘A 被分成4等份，转盘B 被分成3等份，并在每一份内标上数字.现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A 转盘指针指向的数字记为x ，B 转盘指针指向的数字记为y ，从而确定点P 的坐标为P （x ，y ）.记s=x+y.
（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P 的坐标；
（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当s ＜6时甲获胜，否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？对谁有利？
23.（本小题满分7分）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一.某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示，解答下列问题：
（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？
（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；
（3）2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？ （4）请根据以上结论谈谈你的看法.
24.（本小题满分7分）如图，一次函数3y kx =+的图像与反比例函数m
y x
=
（x ＞0）的图像交与点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B.一次函数的图像分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且DBP S ?=27，
OC CA =1
2
. (1)求点D 的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的表达式；
（3）根据图像写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
25. （本小题满分9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A 、B 、C.
（1）请完成如下操作：
①以点O 为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD 、CD.
(2)请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C 、D ； ②⊙D 的半径= （结果保留根号）； ③若扇形ADC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的地面面积为 （结果保留π）； ④若E （7,0），试判断直线EC 与⊙D 的位置关系并说明你的理由.
26. （本小题满分9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad ），如图①，在△ABC 中，AB=AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA=底边/腰=
BC
AB
.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解
下列问题：
（1）sad60°= .
（2）对于0°＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 . （3）如图②，已知sinA=
3
5
，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值.
27. （本小题满分12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD ＞AB)，将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE. （1）求证：四边形AFCE 是菱形；
（2）若AE=10cm ，△ABF 的面积为242
cm ，求△ABF 的周长；
（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2
2AE AC AP =?？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.
28. （本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系X0Y 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2
y ax bx c =++经过点A 、B 和D （4，23
-
）. （1）求抛物线的表达式.
（2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2cm/s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=2
PQ (2
cm ).
①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； ②当S 取
5
4
时，在抛物线上是否存在点R ，使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标.
一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案
C B C B A
D D B D
C
A
C
A
B
D
二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）
16．63 17．75° 18. 19． x 1= -4,x 2= -1 20．
三、解答题（本题8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（本题满分7分） 解：∵sin 60°=
∴α+15°=60°
∴
α=45°………………………………………………………………………………2分
∴－4cos α—(－3.14)0+tan α+=2—4×—1+1+3=3………7分 每算对一个给1分，最后结果得1分 22．（本题满分7分） 解：（1）列表：
…… 4分
y x
2
4
6
1 （1，2） （1，4） （1，6）
2 （2，2） （2，4） （2，6）
3 （3，2） （3，4） （3，6） 4
（4，2） （4，4） （4，6）
（2）∵P（甲获胜）= ……………………………………………………5分 P（乙获胜）= ……………………………………………6分
∴这个游戏不公平，对乙有利。……………………………………………7分
23．（本题满分7分）
解：（1）
∴选出的恰好是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是………………2分
（2）720×(1)12020=400(人) ∴“没时间”锻炼的人数是400 ……4分（计算和作图各得1分）
（3）2.4×(1-)=1.8(万人) ∴2010年兰州市初二学生每天锻炼未超过1小时
约有1.8万
人. ………………………………
……………………………6分
（4）说明:内容健康，能符合题意即
可. ………………………………………7分
解：（1）根据题意，得：………………………………………………………………………………1分（2）在△和△中，
,
∴…………………………………2分∵
∴
△中，∵
∴………………………………………3分
………………………………………4分
一次函数的解析式
为：………………………………………………………
………5分
反比例函数解析式
为：………………………………………………………………………6分（3）如图可得：……………………………………………………………7分
解：（1）①建立平面直角坐标系………………………………………………
1分
②找出圆心…………………………………………………………3分
（2）①C（6，2）；D（2，0） (5)
分
每个点的坐标得1分
②2 (6)
分
③……………………………………………………………………7分
④直线EC与⊙D相切 (8)
分
证CD2＋CE2＝DE2＝25 （或通过相似证明）
得∠DCE＝
90°…………………………………………………………9分
∴直线EC与⊙D相切
26．（本题满分9分）
（1）1 …………………………2分
（2）………………………4分
(3) 解：
如图，在△ABC中，∠ACB=，sin∠A.
在AB上取点D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC =3k，AB =5k，
则AD= AC==4k，………………………………6分
又在△ADH中，∠AHD=，sin∠A.
∴，.
则在△CDH中，，.…………8分
于是在△ACD中，AD= AC=4k，.
由正对定义可得：sadA= ………………………………………………9分27．（本题满分12分）
解: （1）证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO
∵AD∥BC
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO
∴△AOE≌△COF
∴AE＝CF，又AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形…………………………2分
∵AC⊥EF
∴四边形AECF是菱形 (4)
分
（2）∵四边形AECF是菱形
∴AF＝AE＝10cm
设AB＝ａ，BF＝ｂ，
∵△ABF的面积为24cm2
a＋b＝100，ab＝
48 ……………………………………………………………………6分
(a＋b）＝196 ａ＋ｂ＝14或ａ＋ｂ＝－14（不合题意，舍去）……………………7分
△ABF的周长为ａ＋ｂ＋10＝
24cm………………………………………………………8分
（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点……………9分
证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP
∴△AOE∽△AEP
∴
∴AE＝
AO·AP ……………………………………………………11分
∵四边形AECF是菱形，
∴AO＝AC
∴AE＝AC·AP
∴2AE=AC·AP……………………………………………………………………
12分
28．（本题满分12分）
解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）,
则解得
∴抛物线的解析式为: (3)
分（三个系数中，每对1个得1分）
(2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 ,
即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤
1) ……………………………………………………… 5分
（解析式和t取值范围各1分）
②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.
∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S=时, 5t2－8t+4=,得 20t2－
32t+11=0,
解得 t = ，t = （不合题意，舍去） (7)
分
此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）
若R点存在，分情况讨论:
1O假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为—
即R (3, －)，代入, 左右两边相等，
∴这时存在R(3, －)满足题
意. …………………………………………………… 8分
2O假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－即(1, －) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. ……………………… 9分
3O假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—)代入,
左右不相等, ∴R不在抛物线
上. ………………………………………………… 10分
综上所述, 存在一点R(3, －)满足题意.
（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）…………………………………………………… 12分