海淀区九年级第一学期期末练习
2015.1 数学试卷答案及评分参考
阅卷须知:
1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将
主要过程正确写出即可．
2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分．3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数．
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8答 案 A A D C B B C B
二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）9． 3?； 10． 24；
x1 ? ?2, x2 ?1； 12． （1）37，26；（每个答案 1 分）（2）6.（2 分）11．
三、解答题：（本题共 30 分，每小题 5 分）13．（本小题满分 5 分）
1
解：原式
? ?1? ?1? 2 ……………………………………………………………………4 分
2 1
? ． ………………………………………………………………………………5 分
2
14. （本小题满分 5 分） 证明：∵AB=AC，D 是 BC 中点，
∴AD⊥BC． …………………………………………………………………………1 分
∴∠ADC=90°． ∵BE⊥AC， ∴∠BEC=90°．
∴∠ADC=∠BEC． ……………………………………………………………………3 分在△ACD 和△BCE 中，
ACD ? ?BCE
，
?
ADC BEC，
∴△ACD∽△BCE．……………………………………………………………………5 分 15. （本小题满分 5 分）
解：由已知，可得 m2 ? 3m ? 2 ? 0 ．………………………………………………………1 分 ∴ m2 ? 2 ? 3m． ………………………………………………………………………2 分
m m m
2 ?1?1 ? 2 ? 2 ? 3 ?
3
∴原式= ．………………………………………………5 分
m m m
16. （本小题满分 5 分）
解一：设平移后抛物线的表达式为
y ? 2x ?bx ? c ． …………………………………1 分
2
∵平移后的抛物线经过点 A(0, 3) ， B(2, 3) ，
∴
?3 ? c,
3 8 2b c.
………………………………………………………………………3 分
? ? ?
b 4,
解得 …………………………………………………………………………4 分
? ?
c 3. ?
所以平移后抛物线的表达式为 y ? 2x2 ?4x ?3． ………………………………5 分 解二：∵平移后的抛物线经过点 A(0, 3) ， B(2, 3) ，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线 x ?1. …………………………………………1 分∴设平移后抛物线的表达式为 ? ?2
y ? 2 x ?1 ? k ． ………………………………2 分
∴ 3 ? 22 ?1? ? k ．.………………………………………………………………3 分∴ k ?1．.………………………………………………………………………………4 分
2
所以平移后抛物线的表达式为 ? ?
y ? 2 x ?1 ?1． ………………………………5 分
2
17. （本小题满分 5 分）
解：（1）将 x ? 2 代入 y ? 2x 中，得 y ? 2? 2 ? 4 ．
∴点 A 坐标为 (2, 4)．………………………………………………………………1 分
k
∵点 A 在反比例函数 y ? 的图象上，
x
∴ k ? 2?4 ? 8 ．……………………………………………………………………2 分
8
∴反比例函数的解析式为
y ? ． ………………………………………………3 分
x
（2） P ?1,8?或 P1,?8?．……………………………………………………………5 分
18. （本小题满分 5 分）
4
解：（1）∵△ABC 中，∠ACB=90°，
sin A ? ， BC=8，
5 BC 8
AB ? ? ?10 ．…………………………………………………………1 分 ∴
4 sin A
5
∵△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 AB 中点，
1
∴
CD ? AB ? 5．…………………………………………………………………2 分
2
（2）解法一：过点 C 作 CF⊥AB 于 F，如图．
∴∠CFD=90°．
AC ? AB2 ? BC2 ? 102 ?82 ? 6．
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
∵ CF ? AB ? AC ?BC ，
AC ?BC 24
CF ? ? ．………………………………3 分
∴
AB 5 E
B
∵BE⊥CE，
∴∠BED=90°．
∵∠BDE=∠CDF，
D
F
∴∠ABE=∠DCF．………………………………………4 分
A C
∴
24
CF 24
5
cos ABE cos DCF CD 5 25
? ? ． …………………………………5 分
解法二：∵D 是 AB 中点，AB=10，
∴
∴
1
BD ? AB ? 5．……………………………………………………………………3 分
2
1
S? ? S? ．
BDC ABC
2
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
AC ? AB2 ? BC2 ? 102 ?82 ? 6．
1
S? ? ?6?8 ? 24 ．
∴
ABC
2
∴ S? ?12．
BDC
1
BE ? ．
∴
2
∵ CD ? 5，
24
∴
BE ? ． ………………………………………………4 分
5
∵BE⊥CE，
A
E
D
B
C
∴∠BED=90°．
24
BE 24
5
cos?ABE ? ? ? ．……………………………………………………5 分 ∴
BD 5 25
四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）19．（本小题满分 5 分）
解：（1）由已知，得 m ? 0 且
? ? m ? 2 ? 4?2m ? m ? 4m ? 4 ? m ? 2 ? 0 ，
2 2 2
∴ m ? 0 且 m ? 2．…………………………………………………………………2 分
?m ? 2 ?m ? 2?
（2）原方程的解为
x ? ．
2m 2
∴ x ?1或 ? ．…………………………………………………………………3 分
x
m
2
∵ x2 ? 0，∴ 1 1 ? ? ．∴ m ? 0． x 0
x ? ，
2
m x
m ? ? ．∴ m ? ?2． ∵ 1 ? ?1， ∴ 1
x 2
2
又∵ m ? 0且m ? 2，
∴ ?2 ? m ? 0 ．……………………………………………………………………4 分 ∵m 是整数，∴ m ? ?1． ………………………………………………………5 分
20. （本小题满分 5 分）
解：（1） ? ?
y ? ? x x ? ? ? x2 ? x ? ． ……………………………2 分
100 5 2 4 10 180 400
（1? x ?10 且 x 为整数）．
（2）∵ ? ?
y ? ? x2 ? x ? ? ? x ? ? ．…………………………3 分
2
10 180 400 10 9 1210
又∵1? x ?10 且 x 为整数，
∴当 x ? 9 时，函数取得最大值 1210．…………………………………………4 分答：工厂为获得最大利润，应生产第 9 档次的产品，当天的最大利润为 1210 万元． ………………………………………………………………5 分
21. （本小题满分 5 分）
解：（1）连接 OB,OC．
∵AD 与⊙O 相切于点 A，
∴FA⊥AD．
D
C
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴FA⊥BC．……………………………………1 分
∵FA 经过圆心 O，
∴OF⊥BC 于 E， CF ? BF ．
∴∠OEC=90°，∠COF=∠BOF．
∵∠BOF=2∠BAF．
∴∠COF=2∠BAF．
∵∠PCB=2∠BAF，
∴∠PCB=∠COF．
?
∵∠OCE+∠COF=180° ∠OEC=90°，
∴∠OCE+∠PCB=90°，即∠OCP=90°．
∴OC⊥PC．
∵点 C 在⊙O 上，
A
O
E F
B
P
∴直线 PC 是⊙O 的切线．…………………………………………………………2 分 （2） ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=2．∴BE=CE=1．
在 Rt△ABE 中，∠AEB=90°，AB= 10 ，
∴ AE ? AB2 ? BE2 ? 3．…………………………………………………………3 分设⊙O 的半径为 r，则OC ? OA ? r ，OE ? 3?r ．在 Rt△OCE 中，∠OEC=90°， ∴ OC2 ? OE2 ? CE2 ．
∴ r2 ? ?3? r? ?1．
2
解得
5
r ? ．…………………………………………………………………………4 分
3
∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP =90°，∴△OCE∽△CPE．
OE OC
? ． ∴
CE CP
5 5
3?
3 3
? ． ∴
1 CP
5
CP ? ．……………………………………………………………………………5 分 ∴
4
22.（本小题满分 5 分）
（1）如图，线段 CD 即为所求；……………………1 分
C
（2）OC= 4 2
， tan?AOD=5；……………………3 分
5 A
（3） tan?AOD= 7
．…………………………………5 分
4
D B
五、解答题：（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，第 25 题 7 分）23．（本小题满分 7 分）
k
解：（1）∵反比例函数
y ? 的图象经过点 A(1, 4) ，
x
∴ k ? 4．………………………………………………………………………1 分
4
∴反比例函数的解析式为
y ? ．
x 4
∵反比例函数
y ? 的图象经过点 B(m,n) ，
x
∴ mn ? 4 ．………………………………………………………………………2 分
y ? (x?1) 的图象经过点 B(m,n) ，
2
（2）∵二次函数
∴
n ? (m?1) ．…………………………………………………………………3 分
2
由（1）得 mn ? 4 ，
∴原式 ? mn(m2 ? 2m ?1) ? 2mn ? 4n
? （4 m ?1）? 8 ? 4n
2
? 4n ?8? 4n
? 8．……………………………………………………………………4 分
4
y ? ．
（3）由（1）得反比例函数的解析式为
y
x
5
令 y ? x ，可得 x2 ? 4 ，解得 x ? ?2．
4
3
2
1
4
y
? 的图象与直线 y ? x 交于
∴反比例函数
x
点 (2, 2) ， (?2,?2)．…………………………5 分
-5 -4 -3 -2 -1
O 1 2 3 4 5
当二次函数 y ? a(x ?1)2 的图象经过点(2, 2) 时，可得 a ? 2；
-1
-2
y ? a x ? 的图象经过点(?2,?2)时，可得 2
( 1) a ? ? ．
2
当二次函数
-3
9
-4
y ? a(x ?1) 的顶点为(1, 0) ，
2
∵二次函数 -5
2
∴由图象可知，符合题意的 a 的取值范围是0 ? a ? 2 或 a ? ? ．…………7 分
9
x
24. （本小题满分 7 分）
（1） AD+DE=4． ……………………………………………………………………………………1 分
（2）① 补全图形．……………………………………………………………………………………2 分
解： 设 DE 与 BC 相交于点 H，连接 AE， 交 BC 于点 G，如图．
∠ADB=∠CDE =90°， ∴∠ADE=∠BDC． 在 △ADE 与△BDC 中，
? ?
AD BD,
A
? ?
? ADE BDC,
? ?
D DE DC,
B
C
G H ∴△ADE ≌△BDC．……………………………………3 分
∴AE= BC ，∠AED=∠BCD． DE 与 BC 相交于点 H，
∴∠GHE=∠DHC．
F E
∴∠EGH=∠EDC=90°．…………………………………………………………………………4 分 线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移，得到线段 EF，∴EF = CB=4， EF // CB．
∴AE= EF．
CB//EF，∴∠AEF=∠EGH=90°． AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°．
EF
∴AF= =4 2 ． …………………………………………………………………………5 分
cos 45
② AF ? 8sin ． ………………………………………………………………………………7 分
2
25.（本小题满分 8 分）
解：（1）① 1；………………………………………………………………………………1 分
② 1．………………………………………………………………………………2 分（2） 2． …………………………………………………………………………………4 分（3）不妨设矩形 ABCD 的边 AB=4，BC=3．由已知可得，平移图形 W 不会改变其测度
面积 S 的大小，将矩形 ABCD 的其中一个顶点 B 平移至 x 轴上．
y
当顶点 A，B 或 B，C 都在 x 轴上时，
y
如图 5 和图 6，矩形 ABCD 的测度
A D
面积 S 就是矩形 ABCD 的面积，此时 S=12．
D C
………………………………5 分
O O
A B B C
x x
图 5 图 6
当顶点 A，C 都不在 x 轴上时，如图 7．
过 A 作直线 AE⊥x 轴于点 E，过 C 作直线 CF⊥x 轴于点 F，
过 D 作直线 GH∥x 轴，与直线 AE，CF 分别交于点 H 和点
G，则可得四边形 EFGH 是矩形．
y
H G
D
C
当点 P，Q 分别与点 A，C 重合时， x1 ? x2 取得最大值 m ，
且最大值 m ? EF；
y ? y 取得最大值 n ，且
当点 P，Q 分别与点 B，D 重合时，
最大值 n ? GF ．
1 2
∴图形 W 的测度面积 S ? EF ?GF ．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°．
∵∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°．
O
A
E B F
x
图 7
∴∠BAE=∠CBF．
又∵ ?AEB ? ?BFC ? 90 ，
∴△ABE∽△BCF．…………………………………………………………………………6 分
AE EB AB 4
? ? ? ． ∴
BF FC BC 3
设 AE ? 4a,EB ? 4b ?a ? 0,b ? 0?，则 BF ? 3a,FC ? 3b ，
在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AE2 ? BE2 ? AB2 ．∴16a2 ?16b2 ?16．即 a2 ? b2 ?1．
∵ b ? 0，∴ b ? 1? a2
易证△ABE≌△CDG． ∴CG ? AE ? 4a．
∴ EF ? EB ? BF ? 4b?3a ，GF ? FC ?CG ? 3b? 4a．
∴ S ? EF ?GF ? ?4b ? 3a3b ? 4a?
?12a ?12b ? 25ab ?12 ? 25a 1? a2
2 2
? ? 2 ? 2 ?12 ? 25 ?a4 +a2
12 25 a 1 a
? ?
2
? 2 1 ? 1
? ? a ? ? ?
? 2 ? 4
12 25
∴当 2 1
a ? ，即
2
2 1 49
a ? 时，测度面积 S 取得最大值12 ? 25? ? ．…………7 分
2 4 2
∵ a ? 0,b ? 0 ，∴ a2 ? a4 ? 0 ．∴ S ?12．
49
∴当顶点 A，C 都不在 x 轴上时，S 的范围为
12 ? S≤ ．
2 49
综上所述，测度面积 S 的取值范围是12≤S≤ ．………………………………………8 分
2