大一高数期末考试试题

大一高数期末考试试题

高数试题

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）

11．

lim(ex)xx0x2.2．

11x1x201*exexdxetdtxx2

.3．设函数yy(x)由方程1xy确定，则

tf(t)dtf(x)f(0)1fx1.4.设可导，且，，

则fx.5．微分方程y4y4y0的通解

x0dydx为.

二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数k0，则函数

f(x)lnxxke在(0,)内零点的个数为（）.

(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方

程y4y3cos2x的特解形式为（）.

（A）yAcos2x;（B）yAxcos2x;

（C）yAxcos2xBxsin2x;（D）yAsin2x.3．下列结论不一定成立的是（）.

*fxdxfxdxc,da,bca（A）若,则必有;（B）若f(x)0在a,b上可fxdx0积,则;（C）若fx是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有

abdbaTafxdxfxdx0Ttftdtfx0;（D）若可积函数为奇函数,则也为奇函数.4.设

xfx1e1x1x23e,则x0是f(x)的（）.

(A)连续点;(B)可去间断点;(C)

本页满分12分本页得分跳跃间断点;(D)无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）

1．计算定积分

20x3exdx

22．2．计算不定积分

xsinxdxcos5x.

xa(tsint),t2处的切线的方程.求摆线ya(1cost),在

设

F(x)cos(x2t)dt0x，求F(x).

5．设

xnn(n1)(n2)(n3)(2n)limxnn，求n.

四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）1．求由曲线y过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.

x2与该曲线

222．设平面图形D由xy2x与yx所确定，试求D绕直线x2旋转一周所生成的旋转体的体积.

设a1,f(t)aat在(,)内的驻点为t(a).问a为何值时t(a)最小?并求最小值.

五．证明题（7分）

t1f(0)=f(1)0,f()1，2设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且试证明至少存

在一点(0,1),使得f()=1.一．填空题（每小题4分，5题共20分）：

11．

lim(ex)x0t2xx2e.2．112x01x1x201*exexdx4e.3．设函数yy(x)由方程

xxy1dyedtx确定，则dx12x2tf(t)dtf(x)f(0)1e1.4.设fx可导，且1，，

2x则fxe.5．微分方程y4y4y0的通解为y(C1C2x)e.二．选择

题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数k0，则函数内零点的个数为（B）.

f(x)lnxxk(0,)e在

(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方程y4y3cos2x的特解形式为（C）

yAcos2xy（A）；
（B）Axcos2x；

（C）yAxcos2xBxsin2x；
（D）yAsin2x3．下列结论不一定成立的是（A）

*(A)(A)若c,da,b,则必有

dcfxdxfxdxabb;

fxdx0a,bf(x)0a(B)(B)若在上可积,则;

(C)(C)若fx是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有

aTafxdxfxdx0T;

(D)(D)若可积函数fx为奇函数,则

x0tftdt也为奇函数.4.设

fx1e1x1x23e,则x0是f(x)的（C）.

(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三．计算题（每小题6分，5题共30分）：1．计算定积分02x3exdx2.

解：

设x2t,则20x3exdx21t12tedttdet0220-------2

2221tetetdt002-------2

2131xsinxe2ete2dx50222cosx--------22．计算不定积分.解：

xsinx111xdxdxxd()4cos5xcos4x4cos4x4cosx--------3x12(tanx1)dtanx44cosx4xa(tsint),x113tanxtanxC44cosx124-----------33．求摆线ya(1cost),在t(a(1),a)2处的切线的方程.解：切点为2-------2

kdyasintdxta(1cost)t21-------2yaxa(1)yx(2)a22.-------2切线方程为即

24.设

F(x)cos(x2t)dt0x，则F(x)2xcosx(2x1)cos(xx).5．设

xnn(n1)(n2)(n3)(2n)limxnn，求n.

1nilnxnln1()ni1n---------2解：

n1i1limlnxnlimln(1)ln(1x)dx0nnnni1--------------2

=

xln(1x)10x01故

2ln21limxnen=

1dx2ln211x------------24e四．应用题（每小题9分，3题共27分）1．求

由曲线yx2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.

解：

（x0,y0)，则过原点的切线方程为设切点为

xy1x2x02，

（x0,y0)在切线上，带入切线方程，解得切点为x04,y02.-----3由于点

过原点和点(4,2)的切线方程为面积

y22-----------------------------3

s2022(y222y)dy=3-------------------3

2或

s201*2xdx(24122xx2)dx223

222．设平面图形D由xy2x与yx所确定，试求D绕直线x2旋转一周所生成的旋转体的体积.

解：法一：VV1V2(11y)dy(2y)2dy012212101y12(y1)2dy-------6

01112(y1)32()043--------343法二：V=

102(2x)(2xx2x)dx010

------------------5

2(2x)2xx2dx2(2xx2)dx14(22x)2xx222xx2dx033241221(2xx)210433214122232323-------------4

3.设a1,f(t)aat在(,)内的驻点为t(a).问a为何值时t(a)最

t小?并求最小值.解:

由f(t)atlnaa0得t(a)1lnlna.lna---------------3

又由t(a)lnlna10得唯一驻点aee2a(lna)------------3

当aee时,t(a)0;当aee时,t(a)0,于是aee为t(a)的极小值点.-----2

故

aee为t(a)的最小值点,最小值为t(ee)1lne11.ee--------------1

五．证明题（7分）

1f(0)=f(1)0,f()1，2设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且试证明至

少存在一点(0,1),使得f()=1.证明：设F(x)f(x)x，F(x)在[0,1]上连续在(0,1)可导，因f(0)=f(1)=0,

有F(0)f(0)00,F(1)f(1)11,---------------2

1111111f()=11]F(=)(-)f=1-=，[，2222又由2，知2在2上F(x)用零点定

理，

11F(1)F()=-022根据，---------------在至少存在一点，使得1F()，=0(,1)(0,1)F(0)=F()=02,由ROLLE中值定理得至少存在一点

(0,)(0,1)使得F()=0即f()1=0，证毕.--------------3

可知

1(，1)2内

扩展阅读：大一高数期末考试题

电卓期末高数模拟考试

一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1.设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有(　).

（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可导.

2.设(x)1x1x，(x)333x，则当x1时（　　）.

（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；
（B）(x)与(x)是等价无穷小；

（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；
（D）(x)是比(x)高阶的无穷小.

3.若

F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且

f(x)0，则（）.

（A）函数F(x)必在x0处取得极大值；
（B）函数F(x)必在x0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；
（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。4.

设f(x)是连续函数，且f(x)x210f(t)dt,则f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）25.lim(13x)sinxx0.

6.

已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosx.xdxlim2227.nn(cosncosncos2n1n).

12x2arcsinx1－11x2dx8.2.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9.设函数yy(x)由方程

exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).求110.x7x(1x7)dx.

设f(x)xxe，　　x0　求11.2xx2，0x113f(x)dx．

)

1012.设函数f(x)连续，，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax，A为常数.求

1y(1)xy2yxlnx9的解.13.求微分方程满足

四、解答题（本大题10分）

14.已知上半平面内一曲线yy(x)(x0)，过点(0,1)，且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）

15.过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围

成平面图形D.

(1)求D的面积A；
(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16.设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，

q1f(x)dxqf(x)dx00.

17.设函数f(x)在0,上连续，且0xf(x)dx0，0f(x)cosxdx0.

证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提

F(x)示：设

0f(x)dx）

一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1cosx2　()ce635..6.2x.7.2.8..

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导

xy)coxys(xy)(y)e(1yexyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)

x0,y0，y(0)77x6dxdu10.解：ux　　1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7|ln|1x7|C7711.解：130f(x)dxxedx3x100x102xx2dx

xd(e)3031(x1)2dx02xx2(令x1sin)xeecosd　

4

12.解：由f(0)0，知g(0)0。

x1xtu2e31

g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x(x0)

g(x)xf(x)f(u)duxx002(x0)

g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x)A2x2

AAA22，g(x)在x0处连续。

limg(x)limx0x0xf(x)f(u)dux02dy2ylnxdxx13.解：

yexdx2(exdx2lnxdxC)

11xlnxxCx293

111y(1)C,0yxlnxx399，

四、解答题（本大题10分）14.解：由已知且

，

将此方程关于x求导得y2yy

02特征方程：rr20

y2ydxyx

解出特征根：r11,r22.其通解为

yC1exC2e2x

代入初始条件y(0)y(0)1，得

21yexe2x33故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

C121,C233

1ylnx0(xx0)x015.解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：

1yxxe0e由于切线过原点，解出，从而切线方程为：

1则平面图形面积

A(eyey)dy01e12

（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2

1V11e23

V2(eey)2dy0

6D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

q1qqVV1V2(5e212e3)

116.证明：0qf(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)000q1q

(1q)f(x)dxqf(x)dx0

f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：

q0

f(x)dxqf(x)dx00证毕。

x17.

F(x)f(t)dt,0x0证：构造辅助函数：。其满足在[0,]上连续，在(0,)上可导。F(x)f(x)，且F(0)F()0

0由题设，有

f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx0000，有0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即F()0

综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理，知存在

1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.

F(x)sinxdx0

高等数学I解答

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题有4小题,每小题4分,共16分)

x,x1.当xx0时，都是无穷小，则当xx0时（D）不一定是

无穷小.(A)(C)

xx

ln1(x)(x)

1xa22(B)xx

2(x)(D)(x)

sinxlimxasina2.极限（A）1

的值是（C）.（B）e

（C）ecota（D）etana

sinxe2ax1x0f(x)xax0在x0处连续，则a=（D）.3.

（C）e（D）1

f(ah)f(a2h)limf(x)h0h4.设在点xa处可导，那么（A）.（A）3f(a)（B）2f(a)

1f(a)f(a)(C)（D）3（A）1

（B）0

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）ln(xa)lna1lim(a0)x5.极限x0的值是a.exyylnxcos2x确定函数y(x)，则导函数y

y2sin2xyexyx.xyxelnx7.直线l过点M(1,2,3)且与两平面x2yz0,2x3y5z6都平行，则直

x1y2z3111.线l的方程为

6.由

8.求函数y2xln(4x)的单调递增区间为（－，0）和（1，+）.

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

2(1x)ex9.计算极限x0.

lim1x(1x)ee1ln(1x)xeelimelimx0x0xxx22解：x0|a|3|b|26|a10.已知：，，ab30，求b|。ab512cos,sin1cos21313abab72lim解：

，

x1x1ln(1x)1x

11.设f(x)在[a，b]上连续，且

xxF(x)(xt)f(t)dtax[a,b]，试求出F(x)。

解：

F(x)xf(t)dttf(t)dtaa

xxF(x)f(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dtaaF(x)f(x)

cosxxdx.3sinx12.求

cosx12xdxxdsinx32解：sinx1111xsin2xsin2xdxxsin2xcotxC2222

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

22dxxx2113.求

3.

令　1tx原式12321tdt11(2)dtt11t2

21t62xy1x2的极值与拐点.14.求函数

解：函数的定义域（－，+）

1232arcsint32124x(3x2)2(1x)(1x)yy2322(1x)(1x)

令y0得x=1,x=-1

12

y(1)0x=1是极大值点，y(1)0x=-1是极小值点

12

极大值y(1)1，极小值y(1)1

令y0得x3=0,x4=3,x5=-3x(-,-3)－(-3,0)+(0,3)－(3,+)+y33故拐点（-3，-2），（0，0）（3，2）

x3y24与y3xx所围成的平面图形的面积.15.求由曲线

x3解:3xx2,　x312x4x20,4

x(x6)(x2)0,　　x16,　x20,　　x32.

2x3x322S(3xx)dx(3xx)dx6404x432x3032x3x42(x)6(x)016232316

114524733

216.设抛物线y4x上有两点A(1,3)，B(3,5)，在弧AB上，求一点P(x,y)使ABP的面积最大.

0解：

AB连线方程：y2x10　　AB45点P到AB的距离ABP的面积2xy15x22x35　(1x3)　　　S(x)1245x22x352(x22x3)

　　　S(x)4x4　当x1　　S(x)0　　　S(x)40当x1时S(x)取得极大值也是最大值

此时y3　　所求点为(1，3)

另解：由于ABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x20，4x0),使f(x0)2x053

312,　解得x01,所求C点为(1,3)

六、证明题（本大题4分）

17.设x0，试证e2x(1x)1x.

证明：设f(x)e2x(1x)(1x),x0

f(x)e2x(12x)1，f(x)4xe2x，x0,f(x)0，因此f(x)在（0，+）内递减。

在（0，+）内，f(x)f(0)0,f(x)在（0，+）内递减，在（0，+）内，f(x)f(0),即e2x(1x)(1x)0亦即当x>0时，e2x(1x)1x。

高等数学IA

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题有4小题,每小题4分,共16分)18.函数

ln(x1)x1,x1f(x)tanx,0x12xsinx,x0的全体连续点的集合是（）

(A)(-,+)(B)(-,1)(1,+)

(C)(-,0)(0,

+)

(D)(-,0)(0,1)(1,+)

x219.

设limx(1x1axb)0，则常数a,b的值所组成的数组（a,b）为（（A）（1，0）（B）（0，1）（C）（1，1）（D）（1，-1）20.

设在[0，1]上f(x)二阶可导且f(x)0，则（）

（A）f(0)f(1)f(1)f(0)

(B)f(0)f(1)f(0)f(1)

）(C)f(1)f(0)f(1)f(0)

2

3（D）f(1)f(0)f(1)f(0)

42M2221.

则（）

（A）M

二填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

sinxcos4xdx,N1x22(sinxcosx)dxP(x22sin3xcos4x)dx21.设x1d(xarctanx1)（）

f(x)dxsinxc,f2.设则

(n)(x)dx（）

x4yz52mn6p，与xoy平面，yoz平面都平行，3.直线方程

那么m,n,p的值各为（）

4.

（）

三解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）

i1xlimnni2ein211lim22x0sinxx1.计算

12xcos,x0f(x)xx0试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出f(x)x2.设

3.设函数yf(x)在(,)连续，在x0时二阶可导，且其导函数f(x)的图形如图

所示，给出

f(x)的极大值点、极小值点以及曲线yf(x)的拐点。

yxaObcd四解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）1.求不定积分

e(x22dx)x1x

lnxdx2.计算定积分

1e3.已知直线

l2的平面方程。

l1:xyz1123l2:x1y2z3254,求过直线l1且平行于直线

812yax4.过原点的抛物线及y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为5，确定

抛物线方程中的a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积。

五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

21.设F(x)(x1)f(x)，其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)0，试证明存在

（12）使得F()0。

x2.

f(x)(tt2)sin2ntdt(x0)0（1）求f(x)的最大值点；

f(x)（2）证明：

1(2n2)(2n3)

一、单项选择题BDBC.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

x1(4arctanx1)dxx15.dy2.

6.7.

nncos(x)dxsin(x)cf(x)dx22.m2,p6,n0.

(n)1(e1)28..

三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）

11lim(22)9.(8分)计算极限x0sinxx.

11x2sin2xlim(22)lim22x0xsinx解：x0sinxx

xsinxxsinxlimx0x3x

1cosx12lim2x03x3

12xcos,x0f(x)xx0，试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出x10.(8分)设

f(x).11x0,f(x)2xcossinxx；
当x0,f(x)1解：当

1x2cos0x0xx0f"(0)lim0f"(0)lim1x0x0xx

11x02xcossinfxxxx01故f(x)在x=0处不可导。

11.(8分)设函数yf(x)在(,)连续，在x0时二阶可导，且其导函数

f(x)的图形如图.给出f(x)的极大值点、极小值点以及曲线yf(x)的拐

点.yxaO

解：极大值点：xaxd极小值点：xb拐点(0,f(0)),(c,f(c))

bcd四解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）

(x2)2dx212.(9分)求不定积分x(x1).

413()dx2x(x1)x1解：原式=

=

4lnx13lnx1cx1

13.(9分)计算定积分

1e1elnxdx.

e1解：原式=

lnxdx1e1elnxdx

exlnxx1xlnxx122e

xyz1x1y2z3l2:123，254,求过直线l1且平行于14.(9分)已知直线

直线l2的平面方程.n解：s1s2(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1)

l1:取直线l1上一点M1(0,0,1)于是所求平面方程为7x2y(z1)0215.(9分)过原点的抛物线yax(a0)及y=0,x=1所围成的平面图形绕x

81轴一周的体积为5.求a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积.

5222xV(ax)dxa50解：

110a25

a2由已知得

58125故a=9抛物线为：y9x

1绕y轴一周所成的旋转体体积：

V2x9x2dx180x441092

五综合题（每小题4分，共8分）

2F(x)(x1)f(x)，16.(4分)设其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)0.

证明：存在（12）使得F()0。

证明：由f(x)在[1，2]上二阶可导，故F(x)在[1，2]二阶可导，因f(2)=0,故F(1)=F(2)=0

在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点x0,(1x02)使F(x0)0

F(x)2(x1)f(x)(x1)2f(x)17.(4分).

得F(1)0

在[1，x0]上对F(x)用罗尔定理，至少有点(1x02)F()0

解：（1）x1为f(x)的最大值点。

f(x)(xx2)sin2nx，当0x1，f(x)(xx2)sin2nx0；
当x1，f(x)(xx2)sin2nx0。f(1)为极大值，也为最大值。（2）

f(x)(tt2)sin2ntdtf(1)01100x

1(2n2)(2n3)

f(1)(tt2)sin2ntdt(tt2)t2ndt高等数学上B（07）解答

一、填空题：（共24分，每小题4分）

dy222ysin[sin(x)]1．，则dx2xcos[sin(x)]cosx。

adx1x22．已知，a=__1______。

e2lnxdx12e。3．ex4．ye过原点的切线方程为yex。x5．已知f(x)e，则396．a2，b2

32时，点(1,3)是曲线yaxbx的拐点。

f"(lnx)dxx=xc。

二、计算下列各题：（共36分，每小题6分）

cosx1．求y(sinx)的导数。解：y(e2．求解：cosxlnsinx)ecosxlnsinx(sinxlnsinxcotxcosx)

sinlnxdx。

sinlnxdxxsinlnxcoslnxdxxsinlnxxcoslnxsinlnxdx

1(xsinlnxxcoslnx)C2x5x21dx3．求。

解：

x51d(x21)5dxdxdx2222x1x1x1

22x15ln|xx1|C

xx0e,f(x)kx0在点x0处可导，则k为何值？x1,4．设

xkf(0)limlimxk1x0xx0解：

ex1f(0)lim1x0xk1

111lim()222222nn1n2nn。5．求极限

解：

111lim()222222nn1n2nnn1limnk1n2k2n11limnk1k2n12n

10dx1x=

2121ln(x1x)|0ln(12)

x2yz102xyz0xyz106．求过点(2,2,0)且与两直线和xyz0平行的平面

方程。

解：两直线的方向向量分别为s1(1,2,1)(1,1,1)(1,2,3),s2(2,1,1)(1,1,1)(0,1,1)，平面的法向量

n(1,2,3)(0,1,1)(1,1,1)。

平面方程为xyz0。

三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）

xRcostd2y21．设yRsint，求dx。

dycott解：dx

d2y11(cott)t2RsintRsin3tdx02．求在[1,2]上的最大值和最小值。

解：F(x)x(x1)0,x0,x1

11F(0)0,F(1)t(t1)dt,061252F(1)t(t1)dt,F(2)t(t1)dt0063

25最大值为3，最小值为6。

223．设yy(x)由方程x(1y)ln(x2y)0确定，求y"(0)。

22解：方程x(1y)ln(x2y)0两边同时对x求导

F(x)t(t1)dtx

(1y2)2xyyx0,y2x2y0x22y

将

12代入上式

58

22yxy4．求由与x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。

y"(0)解：

V(yy4)dy01

310

四、证明题：(共12分，每小题6分)

1．证明过双曲线xy1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。

证明：双曲线xy1上任何一点(x,y)的切线方程为

Yy1(Xx)2x

1(0,y),(2x,0)x切线与x轴、y轴的交点为

1sx(y)2x故切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为

2．设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明：至少存在一点使得

bf()g(x)dxg()f(x)dxab

证明：令

F(x)g(x)dxf(x)dxxabx

F(a)F(b)0，由Rolle定理，存在一点[a,b]，使F()0，即

f()g(x)dxg()f(x)dxa

高等数学上解答（07）

一、单项选择题（每小题4分，共16分）

|sinx|(x)是A。1．f(x)xcosxe（A）奇函数；
（B）周期函数；
（C）有界函数；
（D）单调函数

22．当x0时，f(x)(1cosx)ln(12x)与B是同阶无穷小量。（A）x；
（B）x；
（C）x；
（D）x

x2yz03．直线xy2z0与平面xyz1的位置关系是C。

（A）直线在平面内；
（B）平行；
（C）垂直；
（D）相交但不垂直。

4．设有三非零向量a,b,c。若ab0,ac0，则bcA。（A）0；
（B）-1；
（C）1；
（D）3

3452二、填空题（每小题4分，共16分）

1．曲线ylnx上一点P的切线经过原点(0,0)，点P的坐标为(e,1)。

tanxx1lim2xx0x(e1)3。2．

y2e6xyx10确定隐函数yy(x)，则y(0)0。3．方程

2yx、x1与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为4．曲线

5。

三、解下列各题（每小题6分，共30分）1．已知(x)tsin2fxttlim(t)，求f(x)。

tsin2f(x)lim(x)tesin2x解：tt

f(x)esin2xsin2x

2．求不定积分[ln(lnx)1lnx]dx。解:[ln(lnx)1lnx]dxln(lnx)dx1lnxdx

xln(lnx)11lnxdxlnxdx

xln(lnx)C

13．计算定积分1x2(sinx21x41x)dx。

1解：1x2(sinx1x41x2)dx11(x21x2)dx11x2sinx1x4dx11(x21x2)dx0

xsint220sin2tcos2tdt

8

1sin4．求不定积分x1cosxdx。

解：1sinx1cosxdx11cosxdxsinx1cosxdx1xdcosx2sec22dx1cosxxtan2ln|1cosx|C

5．已知f(lnx)x，且f(1)e1，求f(x)。

解：令lnxt，f(t)et

f(x)exCf(1)e1，f(x)ex1

四、（8分）设f(x)对任意x有f(x1)2f(x)，且

f0)(12。求f)1(解：由f(x1)2f(x)，f(1)2f(0)

f(1)limf(x)f(1)x1x1xt1f(t1)f(1)limt0t

。2f(t)2f(0)tt0

2f(0)1

22(x1)lnx(x1)x1五、（8分）证明：当时，。

lim证明：只需证明(x1)lnxx1。

令f(x)(x1)lnxx1

10x，f(x)在[1,)单调递增。

22f(1)0，当x1时，f(x)0。即(x1)lnx(x1)。

f(x)lnx六、（8分）

已知

F(x)(x2t2)f(t)dt0x2，f(x)连续，且当x0时，F(x)与x

为等价无穷小量。求f(0)。

F(x)lim21解：x0x

F(x)(x2t2)f(t)dtx2f(t)dtt2f(t)dt000xx00xxxx

F(x)2xf(t)dtx2f(x)x2f(x)2xf(t)dt2xf(t)dtF(x)0lim2lim2f(0)2x0x0xx

1f(0)2

七、（8分）

2设有曲线y4x(0x1)和直线yc(0c4)。记它们与y轴所围图形的面积为A1，它们与直线x1所围图形的面积为A2。问c为何值

时，可使AA1A2最小？并求出A的最小值。解：

AA1A2c04yydy(1)dyc22

A(c)c1

令A(c)c10，得c1。

A(1)1102，c1为最小值点。

4yydy(1)dy10212

八、设f(x)在(a,b)内的点x0处取得最大值，且|f(x)|K(axb)。

minA证明：|f(a)||f(b)|K(ba)

证明：f(x0)在[a,x0]对f(x)应用拉格朗日定理

f(x0)f(a)f(1)(x0a)(a1x0)f(a)f(1)(ax0),|f(a)|K(x0a)

在[x0,b]对f(x)应用拉格朗日定理

f(b)f(x0)f(2)(bx0)(x02b)

f(b)f(2)(bx0),|f(b)|K(bx0)

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分5小题,每小题2分,共10分)

1、

ex1设Ixdx,则Ie1(A)　ln(ex1)c　　(B)　ln(ex1)c;(C)　2ln(ex1)xc;(D)　x2ln(ex1)c.2、

答()

nlimeee1n2nn1ne(A)1　(B)e　(C)e　(D)e23、

　　　　　　　　　　答（　　）

1的n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项Rn(x)(　　)(式中01)1x(1)n1n1n1(A)　x　　　(B)　x(n1)(1x)n1(n1)(1x)n1f(x)(1)n1n1(C)　x　　　　　(D)　　xn1n2n2(1x)(1x)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　)4、

设f(x)在x0的某邻域内连续,且f(0)0,limf(x)2,则点x0x01cosx(A)　是f(x)的极大值点　　　　　(B)　是f(x)的极小值点(C)　不是f(x)的驻点　　　　　　(D)　是f(x)的驻点但不是极值点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　)

5、

曲线yx22x4上点M0(0,4)处的切线M0T与曲线y22(x1)所围成的平面图形的面积A214913(A)　　　　(B)　　　(C)　　　(D)　49412

答()

二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分5小题,每小题3分,共15分)

1设　yln1tan(x)，则y＿＿＿＿x1、

2、

用切线法求方程x32x25x10在(1，0)内的近似根时,选x0并相应求得下一个近似值x1则x0，x1分别为__________________

x1y1z12与x1y1z相交于一点，3、设空间两直线1则。

sinxe2ax1，当x0f(x),在x0处连续，则a___________.xa　　　　　，当x04、

5、0三、解答下列各题(本大题4分)

bxdx_________________，其中b是实数．

设平面与两个向量a3ij和bij4k平行，证明：向量c2i6jk与平面垂直。

四、解答下列各题(本大题8分)

讨论积分10五、解答下列各题(本大题11分)

dx的敛散性．px

dxxn导出计算积分In六、解答下列各题

(本大题4分)

x12的递推公式,其中n为自然数。

x2yz50l1:z100求过P0(4,2,3)与平面:xyz100平行且与直线垂

直的直线方程。

七、解答下列各题(本大题6分)

计算极限lim八、解答下列各题(本大题7分)

e1x01xsinxcos2xxtanx

e试求In(lnx)dx的递推公式(n为自然数)，并计算积分(lnx)3dx．1n九、解答下列各题

(本大题8分)十、解答下列各题(本大题5分)

设f(x)在(a,b)内可微,但无界，试证明f(x)在(a,b)内无界。设lim(x)u0，limf(u)f(u0),证明：limf(x)f(u0)xx0uu0xx0。

十一、解答下列各题(本大题4分)十二、解答下列各题(本大题5分)

在半径为R的球内,求体积最大的内接圆柱体的高

124,cos135，求A,B重量为p的重物用绳索挂在A,B两个钉子上，如图。设所受的拉力f1,f2。

cosAOBp十三、解答下列各题

(本大题6分)

　　一质点,沿抛物线yx(10x)运动,其横坐标随着时间t的变化规律为xtt(t的单位是秒,x的单位是米),求该质点的纵坐标在点M(8，6)处的变化速率．十四、解答下列各题(本大题7分)

设曲线xy,x2y2及y0,围成一平面图形.(1)求这个平面图形的面积;

、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分5小题,每小题2分,共10分)

1、C2、答：B3、C10分4、（Ｂ）5、C

二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分5小题,每小题3分,共15分)

(2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.

112)sec(x)2xx12(1tan(x))x1、

(1

2、x00

10分5分10分

x153、4

4、-1

b22，b00　，b0b25、2，b0

三、解答下列各题

(本大题4分)

ijknab310{4,12,2}平面法向量114nn2与cc平行从而平面与c

垂直。

四、解答下列各题(本大题8分)

　　当p1时，1dx10xplimdx0xplim(101p11xp1)　　lim101p(11p1)1，1pp1，p1当p1时，1dx1dx0xp0xlim0lnx1

1dx0xp当p1时收敛，当p1时发散.五、解答下列各题(本大题11分)

解:法一In1xn1dx21

2

x1xn1(n1)x21xn2dx

4分8分10分10分

5分

7分10分

3分

x211x2xn1(n1)xn2x21dxx21xn1(n1)1dxxn2x21dx(n1)xnx21

x21xn1(n1)In2(n1)In

故In2x21(n1)xn1nn1In

1x2　　　　　　　　　　　　　　　　I11lnxxcIx21(n1)xn12nn1In2(n2)　I0ln1x2nxc法二令xtant　　dxsec2tdtIsec2tdtsectntanntsecttanntdt

dsecttann1tsectsec3ttann1t(n1)tann2tdtsectsec3tann1t(n1)ttann2tdt(n1)secttanntdt　x21xn1(n1)(In2In)In2nn1Ix21n(n1)xn1Ix212nn(n1)xn1n1In2(n2)

ln1x2I11

xxc

I0ln1x2xc.

六、解答下列各题(本大题4分)

的法向量为n{111,,}7分

10分3分

5分

7分

10分

ijkS1121{2,1,0}l1的方向向量为

001

3分所求直线方向向量为

SnS1{1,2,3}

7分

从而所求直线方程为

x4y2z123310分

七、解答下列各题(本大题6分)

原式lim1xsinxcos22xx0xtanx(1xsinxcos2x)

1xsinxsin222lim(x0xtanxxxtanx)12(14)52

八、解答下列各题

(本大题7分)

Ine1(lnx)ndx　xlnnxene11(lnx)n1dx

enIn1

于是　I)e(1)nn!enenen(n1dx

1

enen(n1)e(1)n1n(n1)2e(1)nn!(e1)

所以　e1(lnx)3dxe3e6e6(e1)　　　62e九、解答下列各题(本大题8分)

证明:反证设f(x)在(a,b)内有界,即M0则x(a,b)有f(x)M

取x0(a,b)则对x(a,b),xx0在以x0与x为端点的区间上f(x)满足拉格朗日中值定理的条件,则至少存在介于x0与x之间,使　　f(x)f(x0)f()(xx0)

即f(x)f(x0)f()(ba)　　　f(x0)M(ba)记为K

3分7分10分4分

7分

10分2分

5分

8分

即f(x)在(a,b)内有界与题意矛盾,故假设不正确,即f(x)在(a,b)内无界.

十、解答下列各题(本大题5分)

由ulimuf(u)f(u0)0任给0，存在0

使当uu0时，恒有f(u)f(u0)又limxx(x)u0，取1，存在00使当0xx0时，(x)u0故当0xx0时，就有f(x)f(u0)成立因此limxxf(x)f(u0)0

十一、解答下列各题(本大题4分)

设内接圆柱体的高为h,则圆柱体的底面半径rR2(h2)2h(R2h2其体积为　　　V4)　　0h2R

　　　V(R234h2)唯一驻点　h233R　　V32h0

故h233R时,圆柱体体积最大

十二、解答下列各题

(本大题5分)

按点O受力平衡，应有

12413f15f2p(4分)f1cosf2cosp5ff(8分)1sinf2sin0，即13135f20

解得f3956p,f251256p

(10分)

十三、解答下列各题

(本大题6分)

当　x8时，t4

10分

4分

8分

10分

4分

8分10分

2分3dxt23(米／秒)2dtt4t4

14分

dydx(102x)x8dtdtx(t)3

答：质点的纵坐标在M(8，16)处的变化率为18(米／秒)

十四、解答下列各题(本大题7分)

18(米／秒)10分

解:(1)　　　x120y　x2y2　交点(11,).21　　　Sxdx2x2dx21xx　　　(2x2arcsin)3221

3分

1132241,461201*分

8分

(2)　Vxx4dx(2x2)dx54222().315

2(21)3(221)10分

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分4小题,每小题3分,共12分)

1、

lim(1cosx)2secx(　　)x2、

14　　　　　　　　　　　　　答（　　）A．e2　　B．e2　　C．4　　D．　　设f(x),g(x)在x0的某去心邻域内可导,g(x)0且limf(x)limg(x)0,xx0xx0则(I)limxx0f(x)f(x)A与(Ⅱ)limA关系是:xx0g(x)g(x)(A)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要条件(B)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的必要但非充分条件(C)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的充要条件(D)　(Ⅰ)不是(Ⅱ)的充分条件，也不是必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　）3、

设f(x)在a，b连续，F(x)f(x)dt　(axb)，则F(x)是f(x)的ax　(A)．原函数一般表示式　　　　　　　　(B)．一个原函数　(C)．在a，b上的积分与一个常数之差　(D)．在a，b上的定积分4、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

x若已知x0时，F(x)(x2t2)f(t)dt的导数与x2是等价无穷小，则f(0)01(A)1　　　(B)　2(C)　1　(D)　12　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分4小题,每小题3分,共12分)

1x_______1、yxe的铅直渐近线是__________2

tan2、3

2xdx__________.

、

设f(x)为以T为周期的连续周期函数，则f(x)在a，aT(a0)上的定积分与f(x)在0，T上的定积分的大小关系是______________

xy2z7354、直线1与平面3xy9z170的交点为

。

三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分)1、(本小题6分)2、(本小题6分)

写出f(x)ln(1x)x1带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林展开式.

x2y2z216指出锥面4被平行于zox平面的平面所截得的曲线的名称。

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分)1、(本小题1分)求　xdx.2、(本小题2分)

40

计算(xx)dx．3、(本小题5分)

求求44、(本小题5分)

lnxdx.x1lnx

．x(1x)

tanx2dx15、(本小题11分)

设　y(x)(2x)五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分)

01，(x1)求dy．2

试证：F(t)ln(t22tcosx1)dx为偶函数．2、(本小题7分)

试证：对角线向量是A3,4,1,B2,3,6的平行四边形是菱形，并计算其边长。

六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分)1、(本小题6分)2、(本小题6分)

在抛物线yx2找出到直线3xk4y2的距离为最短的点

设曲线的方程为yf(x).已知在曲线的任意点(x,y)处满足y6x,且在曲线上的(0,2)点处的曲线的切线的方程为2x3y6,求此曲线的方程.3、(本小题8分)

经济学上,均衡价格p0定义为供给曲线与需求曲线相交时的价格,消费者剩余定义为需求曲线与直线pp0间的面积(右图区域),生产者剩余定义为供曲线与直线pp0间的面积(右图区域).已知需求曲线方程p(x)10000.4x2,供给曲线方程为p(x)42x.求均衡点及消费者剩余和生产者剩余.

七、解答下列各题

(本大题共2小题，总计6分)1、(本小题1分)

设f(x)在xx0处连续，g(x)在x0处不连续，2、(本小题5分)

xx0试判定F(x)f(x)g(x)在x0处的连续性．

xx0xx0

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分4小题,每小题3分,共12分)

1、D10分2、答　(B)3、B4、B

二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分4小题,每小题3分,共12分)

1、x0

2、tanxxc.3、=4、(2,4,3)三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分)1、(本小题6分)

10分10分10分

若limf(x)，limg(x)A，试判定limf(x)g(x)是否为无穷大？10分

x2x3xnf(x)xRn(x)23n11n1Rn(x)x,介于0与x之间n1n1(1)

2、(本小题6分)

2x2y02z416yy0用yy0所截得的曲线为故y00时为一对相交直线

7分10分

4分

y00时为双曲线10分

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分)1、(本小题1分)

23xdxx2c.3

310分

2、(本小题2分)

x2224原式(x)023403

7分10分3、(本小题5分)

lnxx1lnxdx

lnx1lnxd(lnx)

1lnxd(1lnx)d(1lnx)1lnx

23(1lnx)3221lnxc.

4、(本小题5分)

令　xt

原式22t1t2(1t)dt

22111(tt1)dt2lntln(t1)2

1

2ln435、(本小题11分)

dyy(x)dx

　(2x)tan2x2sec2x1x2ln(2x)2xtan2dx

五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分)

F(t)0ln(t22tcosx1)dx令　xu

F(t)0ln(t22tcosu1)du

0lnt(22tcosx1)dx

F(t)

2、(本小题7分)

因为AB32(4)3(1)(6)0，故AB

因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。（6分）边长=05.|A|205.|B|2

21232(4)2(1)212232(621/22

1/22)3分7分10分

4分6分8分10分2分

10分

2分

6分8分10分

523

（10分）

六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分)1、(本小题6分)

设抛物线上任点(x,x2),到直线的距离为d3x4x2291615(4x23x2)

d15(8x3)唯一驻点　x38d850

故当x38时,d最小即点38，964到直线3x4y20的距离最短

(注如用切线平行于已知直线解也可以)

2、(本小题6分)

yydx3x2c　　　　　　(1)又由2x3y6得y23x2y(0,2)23　　　代入(1)得

y3x223

y(3x22)dxx3233xc

再将(0,2)代入得c2,yx323x2.

3、(本小题8分)

p10000.4x2p42x,解出x20.均衡点p840.

消费者剩余200(10000.4x2)840dx　　　　2133.33生产者剩余201*4042xdx

8400

4分

8分10分3分

5分

10分3分

6分

10分

七、解答下列各题

(本大题共2小题，总计6分)1、(本小题1分)

F(x)f(x)g(x)在x0处必不连续

若F(x)在x0处连续，则g(x)F(x)f(x)在x0处也连续，矛盾！

2、(本小题5分)

答：不一定．若A0，lim1xxx)1g(x)00f(

limxxf(x)g(x)0但若A0则等式可能不成立

例如lim1x1x1，xlimx(x1)20１

但lim1(x1)2x1x10

b1、极限limx0(1xa)x　　(a0，b0)的值为

b(A)1．　(B)lnba　(C)ea．　(D)bea　　　　　　　　　　　　　　答（　　）2、

3lim(x01cosx)cosxA．e3　　B．8　　C．1　　D．　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）3、

　　设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导记(Ⅰ)f(a)f(b)(Ⅱ)在(a,b)内f(x)0则：(A)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要条件(B)(Ⅰ)是(Ⅱ)的必要,但非充分条件(C)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充要条件(D)(Ⅰ)与(Ⅱ)既非充分也非必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　)4、

4分

10分

4分6分

10分

若x0，f(x0)为连续曲线,yf(x)上的凹弧与凸弧分界点,则(　　)(A)　(x0，f(x0))必为曲线的拐点(B)　(x0，f(x0))必定为曲线的驻点(C)　x0为f(x)的极值点(D)　x0必定不是f(x)的极值点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答(　　)5、

一长为Lcm的杆OA绕O点在水平面上作圆周运动.杆的线密度r为杆上一点到O点的距离,角速度为,则总动能1,r

二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分3小题,每小题3分,共9分)

1111(A)　2L2　　(B)　2L2　　(C)　2L2　　(D)　2L22345

答()

(3x1、2、

23)dxx0_______________.

设f(x)t(t1)dt，则f(x)的单调减少的区间是__________3、对于的值，讨论级数n1（1）当时，级数收敛（2）当时，级数发散三、解答下列各题

(本大题共3小题，总计13分)1、(本小题4分)2、(本小题4分)

级数

(nn1)

验证f(x)x2在[2,4]上拉格朗日中值定理的正确性

nn12n1是否收敛，是否绝对收敛？3、(本小题5分)

1n1010n

3x,22时，fxx。设fx是以2为周期的函数，当又设Sx是fx的

以2为周期的Fourier级数之和函数。试写出Sx在,内的表达式。

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计23分)1、(本小题2分)

2、(本小题2分)3、(本小题4分)

x312x16求极限　lim3x22x9x212x4

求(ex1)3exdx.求214、(本小题7分)

5、(本小题8分)

x21dx．x

求xdx.试将函数

五、解答下列各题(本大题5分)

y1x2在点x00处展开成泰勒级数。

如果幂级数n0在x2处条件收敛，那么该级数的收敛半径是多少试证之.六、解答下列各题

(本大题共2小题，总计16分)1、(本小题7分)

anxn如图要围成三间长都为y,宽都为x的长方形屋围,其墙的总长度为a,问x,y各等于多少时,所围成的总面积最大?(墙的厚度不计)

2、(本小题9分)七、解答下列各题(本大题6分)

求由曲线ye2x,x轴及该曲线过原点的切线所围成的平面图形的面积.

八、解答下列各题(本大题6分)

xchx，x0，设　f(x),试讨论f(x)的可导性并在可导处求出f(x)ln(1x)，x0

计算limx0九、解答下列各题

(本大题12分)

b(ab)dt，(a0，b.0)．ln(1t)dt

02x0tt设函数f(x)在a，b上有连续导数(a0)，又设xrcos，f(x)rsin．试证明：2f(x)dxr2()dbf(b)af(a),a其中arctan

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

f(a)f(b)，arctan．ab(本大题分5小题,每小题2分,共10分)

1、答：C2、B

3、答　　(B)4、(A)5、

C因dE12(dm)v2　　121rdr(r)2　　122rdr　EL1022rdr　12L24二、填空题（将正确答案填在横线上）

(本大题分3小题,每小题3分,共9分)

x9x3971、275x5x7c.

2、

(0，1)　(答0，1不扣分)

3、1时收敛

1时发散

三、解答下列各题

(本大题共3小题，总计13分)1、(本小题4分)

证明:f(x)x2在[2,3]上连续,在(2,3)可导即f(x)在[2,3]上满足拉格朗日中值定理的条件

又f"(x)2x令f"()2f(4)f(2)426

得到(2,3)内有解3即存在3,使f"()f(4)f(2)42

这就验证了拉格朗日中值定理对函数f(x)x2在[2,3]上的正确性

2、(本小题4分)

u1nn1n10n10n2记

10n10n

10分10分10分

10分10分

4分

8分

10分……6分

故原级数绝对收敛，从而收敛……10分3、(本小题5分)对

un1110由于unnfxx,2x32作周期为2的延拓，fx在,内

的表达式为

x2,x,fx2x,x0,x,02x,fx满足Fourier级数收敛的充分条件。故

x2,x2,Sx,xx,2,x0x,02,x,分)

注：只要写出Sx的表达式即可得10分。四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计23分)1、(本小题2分)

解:原式lim3x212x26x218x12

　　　lim6xx212x18

　　　2

2、(本小题2分)

(ex1)3exdx

(ex1)3d(ex1)

14(ex1)4c.

3、(本小题4分)

令　xsect

原式30tan2tdt(3分)

(5分)

(10

5分8分10分5分10分4分

3

0(se2ct1)dt(tantt)30

334、(本小题7分)

x2c1　　xxdx20,2x2c2　x0.

由原函数的连续性,得x2x2xlimo(2c1)xlimo(2c2)　　c1c2　　令c1c2c

x2c,　xxdx20,xx2x2c,　x02c.

5、(本小题8分)

因为

1x21x1x1x101xx0

x0……3分

1n1xnx1,1而1xn0……5分

1n1nx0,2x0所以

x1xxxn00n0x0

1n1nxxn10x21xn1x0,2x0

n00……10

分

五、解答下列各题(本大题5分)

由题意,知:

当

x2时,级数绝对收敛；
……4分当

x2时,级数不可能收敛.……8分故收敛半径是2.……10分六、解答下列各题

6分8分10分

5分

10分(本大题共2小题，总计16分)1、(本小题7分)

如图　4y6xa　　ya432x总面积为A3xy3x(a342x)dA3adx49x　　当xa12时,dAdx0　　d2Adx290

故当xa12时,A取得唯一极大值也是最大值

此时　　ya3a4a2128故当xa12，ya8时,所求总面积最大

2、(本小题9分)

解:y2e2x.　　设切点(t0,e2t0),切线y2e2t0x,　　ye2t0,1y2e2t　　t0t002切线y2ex,　　　切点(12,e)

1s2e2xdx1122e

12e2x12114e4e.七、解答下列各题

(本大题6分)

f(0)1，f(00)xlim00ln(1x)0f(00)xlim00coshx1f(x)在x0处不连续,故不可导sinhx，xf(x)0，11x，x0，

八、解答下列各题

(本大题6分)

limaxbx原式x02ln(12x)

3分6分8分

10分3分6分8分10分3分5分

10分5分

axlnabxlnblimx0412x

1aln4b

九、解答下列各题(本大题12分)

10分

因为r2x2f2(x)，arctanbf(x)xf(x)f(x)，ddx22xxf(x)

4分6分

于是　r2()dxf(x)f(x)dxaxf(x)dxf(x)dxaabb

baxf(x)baf(x)dxf(x)dxab8分

bf(b)af(a)2f(x)dxabb

10分

所以　2f(x)dxr2()dbf(b)af(a)a一、一、填空

1.

cosx,x0x2f(x)(a0)aax,x0x1.设当a=时，

x=0是f(x)的连续点。

解：

aax1x0x2a故a1时x0是连续点，a1时x0是间断点。

dy设方程xyarctany0确定了yy(x),求dx＝。2．

y1y21y0y221yy解：1acos2xbcos4xlimx43．x0＝A，则a=，b=，A=。

解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有a+4b=0解出：a=-4/3b=1/3代入求得极限A＝8/3

f(0)limlimx4．函数yx2的极小值点为。

1xxx2y21xln2y2(2ln2x(ln2))在驻点处y’’>0,故ln2解：驻点,驻点为极小值点。

12cosx1x0x5．设f(x)=xlnx在x0处可导，且f’(x0)=2,则f(x0)=。解：f(x)lnx1,由f(x0)2知x0e,于是有f(x0)e.

6.设limx0fxf01,x2则f(x)在x=0取得（填极大值或极小值）。

解：

limfxf0fxf0＝－1,由极限的保号性有0,有fxf0022x0xx即在x0的某邻域内有fxf0,由极值定义知x0是极大值点。　二、

1x1x0函数f(x)x0,x0是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数。解：当x>0及xd2ydx2x2。

y1sint11yt0切线方程：y1x21cost22sin0cos011yx241cos03

x2时y1,t0ysintcost1解：

四、四、试确定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在点(1,-1)处有拐点，且在

x=0处有极大值为1，并求此函数的极小值。解：

y3x22axb,y00b0,y(0)1,c1.y6x2a,y(1)62a0,a3.yx33x21,y3x26x3x(x2)y0时，驻点：　　x10,x22,y060.极小值y(2)3。

1cost3五、五、若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角

形。

解：设所给直角边为x,斜边与其之和为L，则

1x2xLxx2L22Lx22LL3x12xsL2Lx22L2Lx2L22LxL令s0x这是唯一驻点，且最大值存在，故3L2Ls为最大面积，此时x边与斜边夹角为3363六、六、证明不等式：,e.slnx1lnx则f(x)0(xe)xx2ln()ln()f(x)在(a,)上单减，f()f(),　　即　证：令f(x)ln()ln()lnln.

2limnf.nn七、七、y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限

解：f(0)sin(0)0.f(0)sinxx0cos01,当x0时f(x)与x是等价无穷小，2f2/n2　　limnflim2nnn2/n八、

证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)=ξ;

八、设f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.(2)R，存在(0,)，使得f’()-[f()-]=1证：（1）令F(x)=f(x)-x,则f在[0,1]连续，在(0,1)可导，F（1/2）=f(1/2)-1/2>0

F(1)=f(1)-1=0-1解：

x0limxlimex0xxlnxex0limxlnxelnxx01xlim1limxx01ex21

d2y|xy2x0eexy0yy(x)dx2．函数由方程确定，求。

exeyxy0exeyyyxy0xyy2解：eeyeyyyxy0

d2y|22x0x0,y0y1dx又，，得。

3．求定积分

解

11221x2dx2x。

：

xst1x22222dxcottdt(csct1)dt122x24444．求过点(3,1,2)且与平面x2z1和y3z2平行的直线方程。

ijs10k2(2,3,1)x3y1z223，。

解：

0131sinx,0xf(x)2x(x)f(t)dt0,其它05．设，求。

解：x0，

(x)f(t)dt00xx

1x1(x)f(t)dtsintdt(1cosx)02020x，xx1(x)f(t)dtsintdt0dt10x，20

四、（7分）长为l的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问

这两段铁丝各为多长时，正方形的面积与圆的面积之和最小？

解：设正方形的边长为x，则正方形的面积与圆的面积之和为

(l4x2)S(x)x4。l4xl4l4lS(x)2x20x,l4。所以两段铁丝分别为44时，正方，

形的面积与圆的面积之和最小。

2五、解答下列各题（每小题4分，共12分）

221．设曲线y1x(0x1)，x轴以及y轴所围区域被曲线yax(a0)分成面积相等的两部分，求a。解：由

1a10(1xax)dx221a10axdx211a1(1x2)dx，a3

x2xf(t)dt102．设函数f(x)在[0,1]上连续，且0f(x)1。判断方程在

(0,1)内有几个实根？并证明你的结论。

解：

F(F(x)02x01xf(t)dt1，F(x)在

[0,1]上连续，

d1x()0，所以F(x)在(0,1)内有一个零点。又

F(x)2f(x)2110，F(x)在[0,1]上是单调递增的，所以F(x)在(0,1)内有唯一零点，即

0)F1,(f1)x2xf(t)dt10x在(0,1)内有唯一实根。

120f(1)2xf(x)dx03、设函数f(x)在[0,1]上可导，且，求证在(0,1)内至少存

f()f()。在一点，使得

f(1)2解：F(x)xf(x)，F(x)在[0,1]上可导。由

1f(1)2cf(c)02使得，即f(1)cf(c)。由Roll定理，存在(c,1)(0,1)，使

f()f()。得F()0，即

1201c[0,]xf(x)dx02，，存在

高等数学第一学期半期试题解答（05）

一．1．

一．（共20分）试解下列各题：

x1x1x1x1,(x1)求dy设yy12。

11x1x1dx2x12x1

dydx。

解：2．

x1x12dy设方程xyarctany0确定了yy(x),求1y2yy2

x3ax2x4A.。则a=4,A=-63．设limx1x114．函数yx2x的极小值点。

ln2xcosx2,x05.设f(x)aax(a0)

,x0xy1y021y解：aax1x0x2a

故a1时x0是连续点，a1时x0是间断点。解：f(0)limlim12cosx1x0x22二．二．（10分）若yf(x)是奇函数且x=0在可导,

是什么类型的间断点？说明理由。

解：由f(x)是奇函数，且在x0可导，知f(x)在x0点连续，f(0)f(0)故f(0)0f(x)f0limF(x)limf0存在,故为第一类间断点可去。x0x0x0三．三．（共20分）求下列极限

F(x)f(x)x在x=0

1

1x．

1xxlimx21(3x31x1x2)1x；
解

11：原式＝

332ln333limlimxx211xx2ln32limln3(3x3x)ln32x

2.x0lim(12x)x22x112x2x2ln12x；
解：原式＝x0lim2x4x12x224

xt2sintd2y设曲线方程为ytcost,求此曲线在x=2的点处的切线方程,及dx2。3．

1sint11解：x2时y1,t0yyt0切线方程：y1x21cost22

sintcost1y1cost322(x1)lnxx1x0四．四．（10分）证明：当时，。

11x1证明：当x1时，令f(x)lnx在[1,x]上用拉氏中值定理有lnxx1x11x1同乘以x21有x21lnxx12其中1x即lnxx1111x当0x1时，令f(x)lnx在[x,1]上用拉氏中值定理有lnx1xx11x1同乘以x21有x21lnxx12其中x1即lnxx1当x1时等式成立。x2五．五．（10分）求内接于椭圆a三角形之面积的最大值。解：

2y2b21，且底边与x轴平行的等腰设底边方程为：ytbt0，t22a三角形面积Abt2a12bb设zbtb2t222bt2b2t22z2btbt2z的最大值点也是A的最大值点。2tbt2btb2t2令z0得tb（舍去）tb2bbzb20即t为唯一极大值点，2233ab4亦即为所求面积之最大值点。最大值为A

nn1x2x1在（0，1）上必有六．（10分）证明：方程xxlimxn唯一的实根xn(n>2)，并求n。证：

六．

设f(x)xnxn1x2x1其在[0,1]上连续。f(0)1,f(1)n1由n2知函数在端点异号。由闭区间上连续函数零点定理知至少有一点(0,1)使f()0.又fnxn12x10知函数f(x)单调增加，故在(0,1)上有唯一实根。由xnxnxn1n1nn1xnxn1n22xn1xn1xn115151因此0xn1故由极限存在准则知其有极限，设极限22nxn1xnx1由方程有1两边n取极限01解出x01xn1x021acos2xbcos4x七．七．（10分）确定常数a、b,使极限lim存在，

x0x4并求出其值。

解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有a+4b=0解出：a=-4/3b=1/3代入求得极限为8/3

八．八．（10分）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，且f(a)=f(b)=0,

证明：对R,ca,b，使得fcfc。

证明：构造函数F(x)=e-xf(x)则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微F(a)=F(b)=0由罗尔定理R,ca,b，使得Fc0,而Fxexfxexfx即有R,ca,b，使得fcfc证毕。知xn是单调下降数列，而x

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