杨莉莉
“操作活动”和“思维活动”的落实和培养是帮助学生有效积累数学经验的教学途径。在数学教学中，应以操作活动为基础并提升操作活动的价值，链接学生的手和脑，让学生积累起丰富的数学活动经验，从而完成以思维发展为主要目标的教学活动任务。
一、操作中递进，让思维活动走向内隐
当前，许多教师意识到学生动手操作的重要性，能够适时地引导学生调动多种感官参与学习活动，但只是让操作活动作为一种独立的存在，学生经历了数学活动，却缺乏有效的数学思考，特别是在低年级的教学中更经常存在操作与经验、操作与思维“割裂”的现象。因此，提升操作层次，让数学思考伴随操作活动的全过程，搭建起操作与思维之间的桥梁，实现思维能力从浅层向本质属性不断行进。
如北师大版二上“分物游戏”的内容，要以操作活动为载体，在问题引领中逐步实现学生对“除法”中“平均分”意义的具体理解，可以通过以下几个过程来实现：（1）实物操作中初识“平均分”。让学生用小棒或圆片等学具来代替4个桃子分给2只猴子。引导学生独立进行分类，从中初步建立“分到的一样多叫平均分”的表象。（2）实物操作中运用“平均分”。让学生带着“怎么分，才能让每只小兔分到的一样多”的问题，继续用小棒替代12根萝卜公平分给3只小兔的分物活动，开始尝试“平均分”方法的运用。在交流不同分法的过程中进一步感悟：分法可能不一样，但结果相同，这就是数学中的“平均分”。（3）画图操作中深化“平均分”。通过“用小棒摆一摆的时候，我们只能看见最后的结果是一样的，怎么才能够看见不同分法的过程”的问题，驱动学生通过画一画的方式实现分物操作从实物到替代品的层次递进，既提升了学生动手操作的丰富经验，让学生对除法的“平均分”思维活动从直观走向抽象，也为后续的“分香蕉”中除法算式的抽象奠定了符号化思想的伏笔。
二、操作后反思，让思维活动走向显性
学生在操作活动中，能通过操作、观察、体验获得对数学的感悟，但这种对数学对象形成的相关数学经验带有一定的个体性，需要通过及时的回顾、交流、反思，才能让粗糙零散的个体活动经验得到提炼和梳理，让思维活动显性化。
如教学“厘米的认识”时，教师都会让学生经历各种丰富的实践操作活动，引导学生观察“1厘米”在尺子上的起始与长度，发现或想象生活中长度大约是1厘米的物体，让学生学会用尺子对物体的长度进行度量。但是这些操作活动只是对活动现象和过程的体验，如果要让学生对1厘米长度的表象建立清晰的认识，对利用尺子上的“段”和“点”进行测量的方法认知准确，将1厘米进行叠合和累加的测量经验巩固夯实，就应引导学生对整个活动过程“回头看”：我们刚才是怎么认识1厘米的？生活中的哪些物体的长度差不多是1厘米？利用尺子进行测量时，我们应该怎么观察物体的长度？还要帮助学生把方法进行总结：对于厘米的认识，可以采用的方式有找一找、认一认、估一估、量一量、看一看、数一数。经历了操作活动，进行了反思总结，能够帮助学生实现对活动经验的数学化，让学生的思维活动从零碎走向整体。同时，为后续学习分米积攒相关活动经验。
三、操作里优化，让思维活动走向清晰
随着教学的深入，数学课堂中的操作活动往往会从实物操作演变为列表、画图等策略，这些学习方法和思维习惯需要教师在教学中持之以恒地培养和引导，才能让学生在学习中不断通过类似的操作活动领悟数学学习的重要方法。
如北师大版六下第41页“正比例”的例3，从具体的情境中让学生依据正比例的意义进行判断，学生借助表格中的数字通过运算容易得出正确的判断，但离开了具体数据，直接根据相关联的量进行判断，呈现出来的学习困难就显而易见（如第43页的练习第3题）。
这时，教师在列表方法上的指导就至关重要。首先，笔者帮助学生先从相关联的两个量中找到它们之间的数量关系式。要求学生从“每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数”这个文字表达中抽象出数量关系式：大米的总质量÷袋数=每袋大米的质量。在引导学生列表的同时，通过举例子的方法寻找到两组具体的相关联数据：假设每袋大米的质量是10千克，当大米的总质量是50千克时，袋数是5袋;当大米的总质量是80千克时，袋数是8袋。最后通过计算两组相关联的数量的比值进行判断。这样的引导过程，立足于正比例意义，着眼于学生在理解上的关键处，能够使学生思之有据，思之有理。在反复的操作中，学生能准确把握是否成正比例关系的一系列连续思考和操作过程，为“反比例”的学习做好了触类旁通的活动经验准备。
四、操作完归纳，让思维活动走向通透
归纳思想是小学数学学习的基本思维方式，在教学中被广泛地运用。画线段图的操作活动是高年级学生解决分数问题（刻画问题、寻找思路、解决问题）的极好策略。借助线段图，并对线段图进行对比、分析、归纳，可以更好地研究对象之间的关系，突破知识间的隔阂、解决困惑与难点。
如北师大版六上“分数混合运算（三）”的教学，大多数教师在引导学生画简单的线段图后，基本上就是采用下面的方式进行教学：（1）分析带有分率的条件中哪个数量是单位“1”。（2）反复强化：如果表示单位“1”的数量是已知的，用乘法计算;如果表示单位“1”的数量是未知的，用除法计算。这种程序化的教学貌似简捷高效，实际上并没有从思维状态中消弭学生对“分数混合运算（二）”这个已有认知的“前概念”带来的干扰。因为在后续的练习中，仍有许多学生把图2的解题方法，可见，这种“套路”式教学对学生解决问题思维的经验起不到积极的改造作用。
此时，笔者通过变式引入、画图分析、归纳抽象来消除僵硬的思维定式，融化学生的认知“冰点”。（1）变式引入：通过复习图1的线段图引导学生画出图2的图形。（2）观察和对比：什么变了？什么不变？（3）归纳抽象：无论是图1或是图2，故事书与科技书之间的关系都可以用“故事书的本数+故事书=科技书的本数”這个同样的等量关系式来表示。（4）强化方程思想：借助来体会化逆为顺的思维方式。（5）结合解方程的过程提炼出“”的算术解法。
这样的教学，借助操作活动，勾联新旧，对比归纳，培养方程思想，在有效的融合中克服了“前概念”带来的干扰，让学生的数学学习从认知结构的融会走向经验、思维的通融，拥有更多可发展的学习能力。